Простые числа Жермен

[vorvalm]

Простые числа Жермен - это числа типа $p_t=2p_s+1$.
Бесконечность таких чисел можно доказать, используя разработанную ранее методику, т.е. с помощью ПСВ по модулю М (подробности здесь)
Для этого надо рассматривать числа Жермен в виде разностей вычетов ПСВ.
Здесь возможны два варианта: $d_1=p_t-1=2p_s,\;d_2=p_t-p_s=p_s+1,\;$
которые можно объединить в одну группу вычетов ПСВ.

$F[6]=(0,\;p_t-p_s,\;p_t-1,\;p_t+1,\;p_t+p_s,\;2p_t).$ (подробности здесь)

Располагаем эту группу в диапазоне $Dp$ среди простых чисел ПСВ, в которой первая половина вычетов меньше модуля, а вторая половина вычетов больше модуля М (за вычетом самого модуля).

$...-p_t,....-p_s,.....-1 (M) +1,.....+p_s,.......+p_t,...$

Числа Жермен возможны только при $p_s=6k-1,\;p_t=12k-1,\;$ т.к. $p_t+1=2(p_s+1)$

Группу $F[6]$ необходимо проверить на проходимость по модулям $p=3,\;p=5.$ (подробности здесь)
Находим модули сранений вычетов группы $F[6].$ (вычисления опущены)
Числитель - модуль, знаменатель - их число.

$(p_t-p_s)/2,\;(p_t+p_s)/2,\;(p_t-1)/2,\;(p_t+1)/2,\;(p_s-1)/2,\;(p_s+1)/2,\;2p_t,\;2p_s,\;2.$

Учитывая, что $p_t-p_s=p_s+1,\;p_t-1=2p_s,\;$ будем иметь:

$(p_t+p_s)/2,\;(p_t+1)/2,\;(p_s-1)/2,\;(p_s+1)/4,\;2p_s/3,\;2p_t,\;2.$

Проходимость по модулю $p=3,\;K(5)=3+m(3)-6.$
Простые числа Жермен из класса $6k-1,\;$ поэтому модули
$(\;p_t+1)=6k,\;(p_s+1)=6k,\;$ отсюда $K(3)=3+6-6=3.$
Проходимость по модулю $p=5,\;K(5)=5+m(5)-6.$
Последняя цифра простых чисел может быть: 1, 3, 7, 9, т.е.
$p_t=10x\pm 1,\;p_t=10x\pm 3,\;p_s=10x\pm1,\;p_s=\pm3.$
Отсюда, при $p_t=10x+1$ или $p_s=10x+1$ модули $(p_t-1)=10x,\;(p_s-1)=10x, \;K(5)=5+2-6=1.$
При $p_t=10x-1,\;p_s=10x-1,$ модули $(p_t+1)=10x,\;(p_s+1)=10x,\;K(5)=5+4-6=3.$
При $p_s=10x+3,\;p_t=10x-3$ модуль $(p_t+p_s)=10x,\;K(5)=5+2-6=1.$
Таким образом, группы $F[6]$ проходят в ПСВ по любому модулю. Число таких групп равно:
$A_6\varphi_6(M)$ (подробности здесь)
Сама функция $\varphi_6(M) - $ нечетная. Коэффициент $A_6=\prod K(p)/\varphi_6(p).$
Знаменатель $\varphi_6(p) $ нечетный, числитель $K(p) - $ нечетный при четных $m(p),\;n.$
В нашем случае $m(p)=2, ..4,...6;\;n=6,\;$ т.е. число групп $F[6] - $ нечетное.
Одна группа находится в центре ПСВ среди простых чисел.
В выборе модуля мы не ограничены и в любой ПСВ(М) есть простые числа Жермен.

[vorvalm]

Как долго могут повторяться числа Жермен, следуя друг за другом?
Если обозначить числа Жермен буквой "$g$", то сколько таких чисел
могут составлять последовательность:
$(g_1, g_2, g_3,....g_n)$ где $g_{n+1}=2g_n+1$.
Например. (2, 5, 11, 23, 47) или (89, 179, 259, 719, 1439, 2879)
Последние члены такой последовательности по определению не относятся
к числам Жермен, но мы будем включать эти числа в последовательность.
Первый приведенный пример уникален, т.к. в дальнейшем нам не встретятся
последовательности, у которых первые члены имеют последнюю цифру 2 или 5.
Все другие последовательности с первым членом $10n+1$ будут
иметь только 3 элемента, т.к. на элементе $40n+7$ эта
последовательность закончится.
Интересен второй пример, где все элементы имеют вид $10x+9$
и такая последовательность не ограничивается последней цифрой числа.
Вопрос. Чем ограничено число элементов такой последовательности?

[vorvalm]

В предыдущем тексте допущена опечатка.
Вместо числа 259 надо поставить число 359.

[mihiv]

Эту последовательность можно записать в виде:$p_k=45\cdot 2^k-1$,т.к. $2^{10}\equiv 1mod 11$,то $p_{10}\equiv 45-1\equiv 0mod 11$

[vorvalm]

Да, но эта цепочка обрывается на $k=7.$

[Cash]

Последовательность такого вида называется цепочкой Каннингэма 1-го рода.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cunningham_chain
В references есть ссылка на текущие рекорды (на конец 2011 года),
в частности цепочка из 17 простых чисел, начиная с
$2759832934171386593519$
Найдена Jaroslaw Wroblewski 27.05.2008

[mihiv]

$2^6\equiv -1mod13,$поэтому $45\cdot 2^7-1=90\cdot 2^6-1\equiv 90(-1)-1\equiv 0 mod13$

[vorvalm]

Cash
Мне кажется, что числа Жермен не нуждаются в дополнительном названии.
Вот если бы г-н Каннингэм вывел закономерность образования таких цепочек,
то тогда еще можно было бы согласится с названием "его" цепочек.
Хотя поиск таких цепочек тоже чего-то стоит.
Кстати, образование последовательностей простых чисел связано с ПСВ.
mihiv
И что из этого следует?

[Cash]

(Оффтоп)

Мне совершенно фиолетово, как ЭТО было бы справедливо назвать. Я просто указал устоявшееся название, общепринятый (по крайней мере в английской литературе) термин. Исключительно для того, чтобы Вы, либо любой заинтересовавшийся и имеющий желание с Вами подискутировать, вбив Cunningham chain в Google, смогли ознакомиться с уже наработанным результатом по данной теме.

[mihiv]

vorvalm в сообщении #555306 писал(а):

И что из этого следует?

Из этого следует,что в последовательности $p_k=45\cdot 2^k-1$ не может встретиться более 9 простых чисел Жермен подряд.

[vorvalm]

А подробнее можно?

[mihiv]

Поскольку $2^{10}\equiv 1 mod 11$,то $p_{10}\equiv 45\cdot 1-1\equiv 0mod 11,p_{20}\equiv 45\cdot 1\cdot1-1\equiv 0 mod 11$ и т.д.Таким образом каждое 10-е число последовательности делится на 11.

[Sonic86]

(формулы)

$a\equiv b \pmod{31}$

[vorvalm]

Совершенно верно.
Действительно, цепочки чисел Жермен состоят из взаимно простых чисел
и несравенимых с модулем $p_x$.
Отсюда число их не может быть больше $\varphi(p_x)$.
Вопрос лишь в том, как найти это p_x.$

[Cash]

Что такое $p_x$?
Из гипотезы Диксона следует, что для произвольного целого $k$ существует бесконечно много цепочек длины $k$. О гипотезе Диксона и гипотезе Шинцеля можно почитать у Рибенбойма в "Рекорды простых чисел".