Метод математической индукции

[Иван_85]

Меня интересует, правильно ли я с формальной точки зрения применил метод математической индукции в данной задачке?
Доказать, что если $x+\frac{1}{x}$ - целое, то и $x^n+\frac{1}{x^n}$ - целое, для любого натурального $n$.
$\left(x+\frac{1}{x}\right)\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ - целое. То есть $x^2+\frac{1}{x^2}$ - целое.
Далее, пусть каждому $r\in\mathbb N$ соответствует совокупность двух утверждений:
$r \leftrightarrow \begin{cases} x^r+\frac{1}{x^r},&\text{- целое;}\\ x^{r+1}+\frac{1}{x^{r+1}},&\text{- целое.}\\ \end{cases}$ (1)
Докажем эти утверждения методом математической индукции.
1. База индукции. $r=1.$
$1 \leftrightarrow \begin{cases} x+\frac{1}{x},&\text{- целое;}\\ x^{2}+\frac{1}{x^2},&\text{- целое.}\\ \end{cases}$
Вторая часть этого утверждения была доказана в начале, а первая часть верна по условию.
2. Шаг индукции. $r=k.$
Пусть утверждение $k \leftrightarrow \begin{cases} x^k+\frac{1}{x^k},&\text{- целое;}\\ x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}},&\text{- целое.}\\ \end{cases}$ верно.
$\left(x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}\right)\cdot \left(x+\frac{1}{x}\right)=\left(x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}}\right)+\left(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}\right)$ -целое. То есть $\left(x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}}\right)$-целое. И следовательно, утверждение $k+1 \leftrightarrow \begin{cases} x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}},&\text{- целое;}\\ x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}},&\text{- целое.}\\ \end{cases}$ так же верно.
То есть утверждение (1) верно для любого натурального $r$. И отсюда сразу следует, что $x^n+\frac{1}{x^n}$ - целое для любого натурального $n$.

[ewert]

Правильно, только длинновато. Надо примерно так. При $k=1$ утверждение верно по предположению, тогда при $k=2$ -- Вы доказали. Теперь если утверждение верно для некоторого $k$ и следующего за ним $k+1$, то из $\left(x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}\right)\cdot \left(x+\frac{1}{x}\right)=\left(x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}}\right)+\left(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}\right)$ следует, что оно верно и для $k+2$.

[Иван_85]

ewert, ясно. Спасибо!