Меня интересует, правильно ли я с формальной точки зрения применил метод математической индукции в данной задачке?
Доказать, что если
![$x+\frac{1}{x}$ $x+\frac{1}{x}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/5/a05c2b0fde4243a886801e0eacfe72d582.png)
- целое, то и
![$x^n+\frac{1}{x^n}$ $x^n+\frac{1}{x^n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/2/7925da162153d40bc8021899a024758482.png)
- целое, для любого натурального
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
![$\left(x+\frac{1}{x}\right)\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ $\left(x+\frac{1}{x}\right)\cdot\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+2+\frac{1}{x^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/f/98feeaeff6d89eca0251588d57531f4e82.png)
- целое. То есть
![$x^2+\frac{1}{x^2}$ $x^2+\frac{1}{x^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/c/22c0ce53c90a607dcac963424168b4a582.png)
- целое.
Далее, пусть каждому
![$r\in\mathbb N$ $r\in\mathbb N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/c/a7c9c0950d7598cc66fc2af89f16623882.png)
соответствует совокупность двух утверждений:
![$r \leftrightarrow \begin{cases}
x^r+\frac{1}{x^r},&\text{- целое;}\\
x^{r+1}+\frac{1}{x^{r+1}},&\text{- целое.}\\
\end{cases}$ $r \leftrightarrow \begin{cases}
x^r+\frac{1}{x^r},&\text{- целое;}\\
x^{r+1}+\frac{1}{x^{r+1}},&\text{- целое.}\\
\end{cases}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/b/07b496f15ad2aabfd2e3eb760958280382.png)
(1)
Докажем эти утверждения методом математической индукции.
1. База индукции.
![$r=1.$ $r=1.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/d/a7d81ae6c57afe679a135e42481baf5982.png)
![$1 \leftrightarrow \begin{cases}
x+\frac{1}{x},&\text{- целое;}\\
x^{2}+\frac{1}{x^2},&\text{- целое.}\\
\end{cases}$ $1 \leftrightarrow \begin{cases}
x+\frac{1}{x},&\text{- целое;}\\
x^{2}+\frac{1}{x^2},&\text{- целое.}\\
\end{cases}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/f/8df775ff7791a44b3f1ec0f5474baef882.png)
Вторая часть этого утверждения была доказана в начале, а первая часть верна по условию.
2. Шаг индукции.
![$r=k.$ $r=k.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e468e96083b8502aaac1887715b32b382.png)
Пусть утверждение
![$k \leftrightarrow \begin{cases}
x^k+\frac{1}{x^k},&\text{- целое;}\\
x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}},&\text{- целое.}\\
\end{cases}$ $k \leftrightarrow \begin{cases}
x^k+\frac{1}{x^k},&\text{- целое;}\\
x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}},&\text{- целое.}\\
\end{cases}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/0/b501dafc877c9f4e4b3d246aa9a255ee82.png)
верно.
![$\left(x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}\right)\cdot \left(x+\frac{1}{x}\right)=\left(x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}}\right)+\left(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}\right)$ $\left(x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}\right)\cdot \left(x+\frac{1}{x}\right)=\left(x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}}\right)+\left(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/7/4e7ca3c3d6fcb660a569c8d6a56a46d282.png)
-целое. То есть
![$\left(x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}}\right)$ $\left(x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}}\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/7/c671434facda1739f0d1096fb7d0fbe382.png)
-целое. И следовательно, утверждение
![$k+1 \leftrightarrow \begin{cases}
x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}},&\text{- целое;}\\
x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}},&\text{- целое.}\\
\end{cases}$ $k+1 \leftrightarrow \begin{cases}
x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}},&\text{- целое;}\\
x^{k+2}+\frac{1}{x^{k+2}},&\text{- целое.}\\
\end{cases}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/5/a65c91c1410089ac5676f66469ba336b82.png)
так же верно.
То есть утверждение (1) верно для любого натурального
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
. И отсюда сразу следует, что
![$x^n+\frac{1}{x^n}$ $x^n+\frac{1}{x^n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/2/7925da162153d40bc8021899a024758482.png)
- целое для любого натурального
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.