маятник Уитни

[Oleg Zubelevich]

Зачем мне подбирать контрпримеры к Вашим высказываниям? Мало ли кто что говрит. Если Вы считаете, что условие задачи избыточно , то сами это и обосновывайте

[Dave]

Oleg Zubelevich в сообщении #553900 писал(а):

мне ,например, непонятно, как из Ваших рассуждений следует, что $(1-\varepsilon, 1]\subset D_+$

Вот так.
Пусть $f(0,1,0)=2A>0$. Т.к. по условию функция $f(t,x,y)$ дифференцируема в т. $(0,1,0)$, то она и непрерывна в ней, значит существует такое $\delta >0$, что при $t<\delta, \, 1-\delta<x, \, |y|<\delta$ верно неравенство

$$A<f(t,x,y)<3A \eqno(1)$$

Выберем $z>0$ такое, что $\sqrt {\frac {2z} A}<\min \lbrace \delta, \frac {\delta} {3A} \rbrace$ и $z<\min \{\delta, 2\}$.
Теперь возьмём любое начальное положение $a>1-z$. Я утверждаю, что до момента времени $t=t_{m}=\sqrt {\frac {2z} A}$ включительно решение, стартовавшее из этого положения с $\dot x_a(0)=0$, обязательно пересечёт границу $x=1$, даже ни разу не побывав в положении, меньшем, чем $a$, не говоря уже о значении $x=-1$.
Допустим противное. Тогда найдётся такое $t \in (0,t_{m})$, что нарушается двойное неравенство

$$At < \dot x_a(t) < 3At \eqno(2)$$

Если бы это было не так, то, интегрируя левое неравенство $(2)$ по $t$ от $0$ до любого $t_1<t_{m}$ и учитывая, что $x_a(0)=a$, мы бы получили $x_a(t_1) \geqslant a+\frac {At_1^2} 2$, т.е. $x_a(t)>a$ при всех $t \in (0,t_{m})$, причём $x_a(t_{m}) \geqslant a+\frac {At_{m}^2} 2=a+z>1$ - противоречие с предположением.
Пусть теперь $t_n \in (0,t_{m})$ - минимальный момент времени, когда $(2)$ нарушается ($\inf$ всех таких $t \in (0,t_{m})$, который будет достигаться ввиду замкнутости соответствующего множества). $t_n>0$, ибо $\dot x_a(0)=0$ и $\ddot x_a(0)=f(0,a,0) \in (A,3A)$, т.к. $1-\delta<1-z<a$ и $(1)$ выполняется. Тогда при всех $t \in (0,t_n)$ $(2)$ верно. При этом, при всех таких $t$ верны неравенства $t<\delta, \, 1-\delta<x_a(t), \, |\dot x_a(t)|<\delta$. Первое следует из того, что $t<t_n<t_{m}<\delta$, второе получается аналогичным интегрированием левой части $(2)$: $x_a(t) \geqslant a+\frac {At^2} 2>a>1-z>1-\delta$, третье - из обеих частей $(2)$: $0<At < \dot x_a(t) < 3At<3At_n<3At_{m}<3A \frac {\delta} {3A}=\delta$. Значит верно и $(1)$ с $x=x_a(t)$, $y=\dot x_a(t)$. Но тогда, применяя к той части $(2)$, которая нарушается при $t=t_n$ теорему Лагранжа о среднем значении, приходим к противоречию, ибо если $\dot x_a(t_n) \leqslant At_n$, то существует такое $t \in (0,t_n)$, что $\ddot x_a(t)-A = \frac {\dot x_a(t_n)-At_n} {t_n} \leqslant 0$; если $\dot x_a(t_n) \geqslant 3At_n$, то существует такое $t \in (0,t_n)$, что $\ddot x_a(t)-3A = \frac {\dot x_a(t_n)-3At_n} {t_n} \geqslant 0$ - в обоих случаях это противоречит $(1)$ и тому, что $\ddot x_a(t)=f(t,x_a(t),\dot x_a(t))$.

[ewert]

Ладно, конкретнее. Допустим, $t_0$ -- максимальная граница продолжимости. Тогда в этой точке траектория или имеет предельное значение, или не имеет. Если имеет, то это явное противоречие непродолжимости. Если не имеет, то заведомо вторая производная решения неограниченна, что не есть комильфо.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #553954 писал(а):

Если не имеет, то заведомо вторая производная решения неограниченна, что не есть комильфо

а что ей мешает быть неограниченной?

-- Сб мар 31, 2012 08:30:20 --

ewert в сообщении #553954 писал(а):

Допустим, $t_0$ -- максимальная граница продолжимости. Тогда в этой точке траектория или имеет предельное значение, или не имеет. Если имеет, то это явное противоречие непродолжимости

это почему? a priori можно мыслить себе такую ситуацию: при $t\to t_0$ функция $x(t)$ имеет конечный предел, а $\dot x(t)\to \infty$ и чему это противоречит?