мне ,например, непонятно, как из Ваших рассуждений следует, что
![$(1-\varepsilon, 1]\subset D_+$ $(1-\varepsilon, 1]\subset D_+$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/e/f8e581d91a1094b992cea284dd7f395282.png)
Вот так.
Пусть

. Т.к. по условию функция

дифференцируема в т.

, то она и непрерывна в ней, значит существует такое

, что при

верно неравенство

Выберем

такое, что

и

.
Теперь возьмём любое начальное положение

. Я утверждаю, что до момента времени

включительно решение, стартовавшее из этого положения с

, обязательно пересечёт границу

, даже ни разу не побывав в положении, меньшем, чем

, не говоря уже о значении

.
Допустим противное. Тогда найдётся такое

, что нарушается двойное неравенство

Если бы это было не так, то, интегрируя левое неравенство

по

от

до любого

и учитывая, что

, мы бы получили

, т.е.

при всех

, причём

- противоречие с предположением.
Пусть теперь

- минимальный момент времени, когда

нарушается (

всех таких

, который будет достигаться ввиду замкнутости соответствующего множества).

, ибо

и

, т.к.

и

выполняется. Тогда при всех

верно. При этом, при всех таких

верны неравенства

. Первое следует из того, что

, второе получается аналогичным интегрированием левой части

:

, третье - из обеих частей

:

. Значит верно и

с

,

. Но тогда, применяя к той части

, которая нарушается при

теорему Лагранжа о среднем значении, приходим к противоречию, ибо если

, то существует такое

, что

; если

, то существует такое

, что

- в обоих случаях это противоречит

и тому, что

.