Циклоидальный зубчатый профиль.

[anik]

Как-то лет десять назад, я разработал новый профиль зубчатого зацепления, который позволяет осуществить внутреннее зацепление зубчатых колес с разностью в числе зубьев в единицу. Зубья с традиционным эвольвентным профилем не позволяют это сделать из-за явления интерференции зубьев (внутреннее зубчатое колесо просто невозможно вставить внутрь). Кроме того, зацепление происходит таким образом, что каждый зуб внутренней шестерни касается каждого зуба внешней шестерни так, что точка касания профилей зубьев обегает непрерывно весь зубчатый профиль.
Если кто-либо заинтересуется, то могу изложить.

[Parkhomuk]

Да, интересно.
Каково передаточное отношение Вашего зацепления?

[anik]

Передаточное отношение в принципе любое, как у обыкновенных зубчатых передач. Вся разница во внутреннем зубчатом зацеплении. Возможна передача у которой шестерёнка имеет два зуба, а колесо три зуба - это минимум.
Погодите, я оформлю формулы в LATEX, и напишу.

[Gravist]

И реверс без скачка? (С постоянным касанием при изменении направления вращения?)

[Батороев]

См. волновую передачу

Цитата:

Изобретена в 1959 году американским инженером У. Массером.

[anik]

Gravist в сообщении #552648 писал(а):

И реверс без скачка? (С постоянным касанием при изменении направления вращения?)

Это зависит от зазора между зубьями

Батороев в сообщении #552651 писал(а):

См. волновую передачу

С волновыми передачами давно знаком, сейчас модны редукторы-подшипники с промежуточными телами качения.

-- Вт мар 27, 2012 20:06:59 --

Приведу программу для построения профилей зацепления с любым количеством зубьев, но с разницей в 1 зуб. У кого есть Maple, можете сами посмотреть. У меня есть картинка с восемью зубьями.



Меняя переменную $z$, можно выводить разные картинки. Я строил в Maple 6.
Если кого интересует теория и вывод уравнений, могу привести.

[anik]

Здесь рассматривается зубчатая передача с внутренним зацеплением и разностью в числе зубьев равной единице. При передаче вращения от ведущего звена – шестерни к ведомому звену – колесу начальная окружность шестерни обкатывается
внутренним образом по начальной окружности колеса без скольжения. Передаточное отношение такой передачи равно отношению диаметров начальных окружностей шестерни и колеса.
Проблема состоит в нахождении линии профиля ограничивающего зубчатые венцы колёс, и обеспечивающего требуемую разность в числе зубьев.
Профиль зубчатого венца представляет собой гладкую периодическую кривую, симметрично расположенную относительно начальной окружности. Количество периодов этой кривой соответствует количеству зубьев. При единичной разнице в числе зубьев, число периодов укладывающихся на начальной окружности шестерни на единицу меньше, чем у колеса. Отсюда следует, что разность длин начальных окружностей колеса и шестерни должна быть равна периоду, периодической кривой, ограничивающей зубчатый профиль. Этот период соответствует шагу зацепления.
Выясним теперь, какие ограничения накладываются на ширину зубчатого профиля. Ширина зубчатого профиля равна удвоенной амплитуде периодической кривой ограничивающей этот профиль. Начальные окружности колеса и шестерни касаются в центре зацепления. В диаметрально противоположном месте, между начальными окружностями имеется зазор. В этом зазоре должны расходится вершины зубьев колеса и шестерни, поэтому сумма высот зуба колеса и зуба шестерни не может быть больше зазора между начальными окружностями. Поскольку, в точке, соответствующей центру зацепления, зуб одного колеса расположен во впадине другого, то естественно принять высоту зуба равной глубине впадины. Отсюда следует, что если периодическая кривая симметрично расположена относительно начальной окружности (начальная окружность – срединная линия профиля), то высота зуба колеса должна быть равна высоте зуба шестерни, т.е. ширина профиля колеса равна ширине профиля шестерни. Тогда, сумма высот зубьев колеса и шестерни равна ширине профиля, т.е. ширина профиля не может быть больше зазора между начальными окружностями. Иначе возникнет интерференция зубьев и шестерню невозможно будет вставить внутрь колеса.
Итак, разность длин начальных окружностей колёс равна периоду кривой, а половина зазора между начальными окружностями определяет амплитуду (максимальное удаление от начальной окружности) нашей периодической кривой. Найдём зависимость между периодом и амплитудой искомой периодической кривой. Зазор между начальными окружностями равен удвоенной амплитуде. С другой стороны, он равен разности диаметров начальных окружностей. Имеем:

$$2A=D_1-D_2$$

$$\tau=\pi(D_1-D_2)$$

где $A$ – амплитуда, $D_1$, $D_2$ – диаметры делительных окружностей колеса и шестерни, $\tau$ – период кривой равный шагу зацепления. Отсюда следует, что $\tau=2\pi A$
Следовательно, период и амплитуда искомой периодической кривой соотносятся как длина $\tau$ некоторой окружности и её радиус $A$. В качестве такой периодической кривой, подходит циклоида, образованная точкой производящей окружности с радиусом $A$, катящейся без скольжения по начальной окружности колеса или шестерни.
Реально, зубчатый профиль образован с помощью двух циклоид с одинаковыми периодами и амплитудами. Вершина зуба колеса (обращённая внутрь колеса) образована эпициклоидой, а впадина – гипоциклоидой. Для шестерни – наоборот, вершины зубьев ограничены гипоциклоидами, а впадины – эпициклоидами. Эти гипоциклоиды и эпициклоиды образованы одной производящей окружностью с радиусом $A$, равным амплитуде циклоиды. Дуга эпициклоиды образуется точкой производящей окружности, катящейся без скольжения по внутренней стороне начальной окружности, а дуга гипоциклоиды – при качении по внешней стороне начальной окружности. Величина $\tau$ соответствует дуге начальной окружности равной двум длинам производящей окружности, т.к. производящая окружность должна дважды обкатиться по начальной для образования контура вершины
зуба и, затем, впадины. Вершина зуба ограничивается эпициклоидой, образованной точкой $A$ производящей окружности радиуса $r$, катящейся без скольжения по внешней стороне начальной окружности колеса с радиусом $R1$ (См. Рис. 1.).

Впадина ограничивается гипоциклоидой, образованной точкой производящей окружности радиуса $r$ (на Рис. 1. не показано), катящейся без скольжения по внутренней стороне начальной окружности колеса.
Найдём параметрические уравнения эпициклоиды, где за параметр $t$ выбран угол, образованный прямой, проведённой из центра $O$ к точке касания начальной и производящей окружностей, и осью $OX$.
Точка $A$ эпициклоиды определяется радиус-вектором $\vec R$. Этот радиус-вектор можно представить как векторную сумму двух векторов: $\vec r$ и вектора с модулем $(\vec{R1}+\vec r)$, направленного по оси $OX1$.

$$\vec R=(R1+r)\vec i_1+\vec r$$

Радиусы $R1$ и $r$ связаны следующей зависимостью:

$$2\pi R1=4\pi rz,$$

где $z$ – количество зубьев. Отсюда находим:

$$R1=2zr$$

Учитывая это, разложим вектор $\vec R$ по базису $\vec i_1$, $\vec j_1$ .

$$\vecR=r(2z+1)\vec i_1-rcos\alpha\vec\cdot i_1-rsin\alpha\cdot\vec j_1$$

Перейдём к базису $\vec i,\vec j$ Для этого разложим единичные векторы $\vec i_1,\vec j_1$ по векторам базиса $\vec i,\vec j$. Подставим выражения для $\vec i_1$ и $\vec j_1$ в (2) и, применяя формулу для косинуса и синуса суммы углов, получим:

$$\vec R=[r(2z+1)\cos t-r\cos (\alpha+t)]\cdot\vec i+[r(2r+1)\sin t-r\sin(\alpha+t)]\cdot\vec j \ecno(3)$$

Углы $t$ и $\alpha$ связаны следующей зависимостью: $t=\frac{l}{R1};\alpha=\frac{l}{r}$
где $l$ – длина дуги прокатывания окружностей, соответствующей углу $t$. Отсюда, $tr_1=\alpha r$. Подставим сюда вместо $R1$ его выражение из (1), получим:
Подставим (4) в (3), получим:

$$\vec R=[r(2z+1\cos t-r\cos[t(2z+1)]]\vec i+[r(2z+1)\sin t-\sin[t(2z+1)]]\vec j$$

Компоненты вектора $\vec R$ представляют собой его проекции
на оси координат, или координаты точки $A$ эпициклоиды.
Подбирая соответствующий масштаб, можно принять что $r = 1$, тогда, окончательно имеем:

$$\begin{cases}x=(2z+1)\cos t-\cos[t(2z+1)];\\ y=(2z+1)\sin t-\sin [t(2z+1)];\end{cases}$$

Рассуждая аналогично можно вывести уравнения для гипоциклоиды. Приведём эти уравнения, опустив выкладки.

$$\begin{cases}x=(2z-1)\cos t-\cos [t(2z-1)];\\ y=(2z-1)\sin t-\sin[t(2z-1)];\end{cases}$$

Для построения линии профиля зубьев желательно, чтобы эта линия описывалась одной функцией, а не двумя, отдельно для вершин и впадин. Анализируя параметрические уравнения для эпициклоиды и гипоциклоиды, можно заметить, что они составлены из одних и тех же членов и отличаются только знаками.
Для построения профиля зубьев использованы графические средства математического пакета Maple 6. В этом пакете имеется встроенная функция знака signum (аргумент). Когда аргумент положителен, функция принимает значение +1, при нуле – 0, при отрицательном значении аргумента функция равна –1.
В качестве аргумента необходимо подобрать периодическую функцию с периодом равным полюсному шагу зацепления, чтобы после того, как будет построена одна полуволна эпициклоиды, аргумент изменял знак. Такой периодической функцией является $\sin zt$
Функция графики plot строит два графика функций, для колеса и сателлита, на одном рисунке. Количество зубьев сателлита на единицу меньше. Чтобы профиль сателлита, входил в зацепление с профилем колеса, к абсциссе уравнения графика профиля сателлита прибавлена константа $2r$ (учтено, что $r =1$). Благодаря этому график профиля сателлита сдвинут вправо на две единицы.
Приведём математические выражения, соответствующие синтаксису языка maple 6 для построения графиков зубчатых профилей колёс.

[Parkhomuk]

А почему разница зубьев у колес 1? Можно больше? И вообще, если у Вас главная фишка в том чтоб все зубья были в зацеплении, то это сильно ограничивает значение передаточного отношения, видится мне что оно всегда рядом с 1. Ну и наконец каково кпд скажите мне.

[Sender]

Батороев в сообщении #552651 писал(а):

См. волновую передачу

Цитата:

Изобретена в 1959 году американским инженером У. Массером.

Больше похоже на циклоидальную передачу.

[anik]

Parkhomuk в сообщении #553316 писал(а):

А почему разница зубьев у колес 1? Можно больше? И вообще, если у Вас главная фишка в том чтоб все зубья были в зацеплении, то это сильно ограничивает значение передаточного отношения, видится мне что оно всегда рядом с 1. Ну и наконец каково кпд скажите мне.

Разницу в числе зубьев можно сделать и больше, более того, внутреннюю шестерню можно сцепить с тем же профилем колеса снаружи, т.е. сделать внешнее зацепление.
Чем больше разница в числе зубьев, тем меньшее число зубьев находится одновременно в зацеплении. Это, так называемый, коэффициент перекрытия.
Можно сцеплять любые шестерни внутренним или внешним образом, лишь бы у них совпадал шаг зацепления (высота зуба).
Про КПД я ничего сказать не могу. Мне не удалось изготовить макет. Оператор станка ЧПУ не мог набрать нужные уравнения профиля, а меня к документации не допускал. Профиль мог быть изготовлен на электроэррозиционном станке, который режет проволокой.
В том, что разница в числе зубьев может быть равна 1, и заключается вся прелесть этой передачи. Обратите внимание на то, что замкнутый объём между зубьями изменяется чуть ли не до нуля. Такая передача может быть использована для создания расходомеров жидкости, гидравлических или пневматических двигателей и насосов, как вакуумных, так и нагнетающих.

Sender в сообщении #553381 писал(а):

Больше похоже на циклоидальную передачу.

Большое спасибо за ссылку. В те времена интернет был мне недоступен и приходилось изобретать велосипеды. Хотя именно такую передачу как у меня, я не встречал.

-- Чт мар 29, 2012 17:21:39 --

Следует ожидать, что такая передача будет иметь большую плавность хода (меньше шуметь).

[Батороев]

Sender в сообщении #553381 писал(а):

Больше похоже на циклоидальную передачу.

Да, действительно, больше похоже. Но насколько я понимаю, циклоидальная передача, в некотором роде до сих пор является экзотикой. В отличие от нее волновые редукторы нашли широкое применение в практике довольно давно (достаточно погуглить "волновые редукторы" и увидите большое количество предложений торговых фирм). Мы с коллегами еще в 80-х годах рассматривали возможность применения волновых редукторов в одном из изделий.

anik в сообщении #552794 писал(а):

Передаточное отношение такой передачи равно отношению диаметров начальных окружностей шестерни и колеса.

Передаточное отношение в подобных передачах равно отношению разности количества зубьев к количеству зубьев вращающегося элемента. Тем, что волновые и циклоидальные передачи позволяют добиваться больших передаточных отношений (при достаточной собственной компактности), этим они в первую очередь и интересны.

[anik]

Батороев в сообщении #553434 писал(а):

Но насколько я понимаю, циклоидальная передача, в некотором роде до сих пор является экзотикой. В отличие от нее волновые редукторы нашли широкое применение в практике довольно давно (достаточно погуглить "волновые редукторы" и увидите большое количество предложений торговых фирм). Мы с коллегами еще в 80-х годах рассматривали возможность применения волновых редукторов в одном из изделий.

Насколько я понимаю, Вы мне рекомедуете волновые редукторы, которые широко применяются в практике. Почему же Вы в 80-х годах, рассматривали возможность применения волновых редукторов, а не остановились на традиционных.
Дело не в том, какой редуктор применить, а дело в изобретении чего-либо нового и в чём-то, возможно, совершеннее чем старое.

[Parkhomuk]

Батороев в сообщении #553434 писал(а):

Передаточное отношение в подобных передачах равно отношению разности количества зубьев к количеству зубьев вращающегося элемента

А откуда Вы решили, что Ваши "подобные передачи" подобны передаче автора топика?
Из приведенной картинки это вовсе не следует, а ответ:

anik в сообщении #552794 писал(а):

Передаточное отношение такой передачи равно отношению диаметров начальных окружностей шестерни и колеса.

лично мне говорит, что не надо путать одно с другим.

[anik]

Интересный факт. Существуют две производящие окружности разных радиусов, для создания одного и того же профиля. Эти окружности вписаны в начальную окружность. Одна из них (малая) с радиусом равным половине ширины зубчатого профиля, а другая (большая) касается малой пороизводящей и начальной окружностей.
Так вот, большая производящая окружность пересекает зубчатый профиль как раз в тех точках, где происходит касание зубьев шестерни и колеса.

[Батороев]

anik в сообщении #553486 писал(а):

Почему же Вы в 80-х годах, рассматривали возможность применения волновых редукторов, а не остановились на традиционных.

Необходимо было получить малые скорости перемещения одного из элементов. При помощи "традиционных" не получалось. И все же в оконцовке применить волновой редуктор в виду тогдашней его "экзотичности" тоже не решились, а использовали планетарный, хотя и менее компактный.

anik в сообщении #553486 писал(а):

Дело не в том, какой редуктор применить, а дело в изобретении чего-либо нового и в чём-то, возможно, совершеннее чем старое.

Не уверен, что "изобретение ради изобретения" является продуктивным. На счет совершенности предлагаемой Вами передачи с отношением, близким к единице, вопрос спорный, потому что в технике с такими передачами проблем нет, в отличие от надежных и компактных мотор-редукторов с малым числом оборотов на выходном валу (соответственно, с большим передаточным отношением редуктора). Я грешым делом подумал, что Ваши усилия направлены именно в этом направлении и Вы ненароком "переоткрыли" циклоидальную передачу.
Но если это не так и прав:

Parkhomuk в сообщении #553688 писал(а):

А откуда Вы решили, что Ваши "подобные передачи" подобны передаче автора топика?
Из приведенной картинки это вовсе не следует, а ответ:

anik в сообщении #552794 писал(а):

Передаточное отношение такой передачи равно отношению диаметров начальных окружностей шестерни и колеса.

лично мне говорит, что не надо путать одно с другим.

то такая передача, на мой взгляд, вообще вряд ли перспективна.