Численные методы: Алгоритм Лакса-Вендроффа.

[Booben]

Доброго времени суток. Помогите, пожалуйста, разобраться.
Требуется написать программу по данному алгоритму.
В общем, алгоритм понятен, но непонятно, как вычисляются операторы центральной разности и осреднения.
Например:
$f_{l,k} - значения в узлах,
как получить $f_{l+1/2,k+1/2} (есть предположение что среднее арифметическое соседних узлов)
$f_{l-1/2,k+1/2}
$f_{l+1/2,k-1/2}
$f_{l-1/2,k-1/2}?
Но когда мы вычитаем 1/2, то выходим за границы расчетной сетки в крайних узлах.

[Утундрий]

Booben в сообщении #553202 писал(а):

выходим за границы расчетной сетки в крайних узлах

Идеология тут такая: для внутренних узлов считаем вот так, а для граничных что-то совершенно отдельное дополнительно выдумываем.

[Booben]

То есть по поводу среднего арифметического мы правильно поняли? А "что-то другое", пример не могли бы привести?

[Утундрий]

Booben в сообщении #553226 писал(а):

"что-то другое", пример не могли бы привести?

Booben
Да это граничные условия просто. Они обычно в сквозную (единообразно применимую ко всем внутренним узлам) схему не вписываются и для граничных узлов их приходится выдумывать совершенно отдельно. Если на границе задано значение неизвестной функции, то простейшая дискретизация этого условия - приравнивание значений в граничных узлах заданным значениям, то есть одноточечная граничная схема. Если задана производная, простейшей будет двухточечная схема. Тогда как как во внутренних узлах схема обычно трех- или выше-точечная. В принципе тут имеется значительный произвол в выборе и свои особые задачи (по выбору наиболее соответствующего сквозной разностной схеме граничного условия, например).

В общем, говоря только что расчет проводится по схеме Лакса-Вендрова, вы оставляете за бортом проблему граничных уловий. Еесли угодно, считаете границу достаточно далеко отнесенной, чтобы за время расчета влиянием от нее можно было пренебречь, то есть фактически рассматриваете решения в неограниченном пространстве.

Booben в сообщении #553226 писал(а):

мы правильно поняли?

Во избежание недоразумений, приведите здесь схему так как вы ее поняли.

[Booben]

спасибо, с граничными условиями разобрались

[monochromer]

Booben в сообщении #553202 писал(а):

Но когда мы вычитаем 1/2, то выходим за границы расчетной сетки в крайних узлах.

Обычно в таких случаях вводят слои фиктивных ячеек, чтобы не выходить за пределы сетки и не нарушать единообразия вычислений.