Задача про меру Лебега и разбиение отрезка на два поднож-ва

[Lightyear]

RIP в сообщении #552893 писал(а):

Кстати, оба разбиения, основанные на биекции отрезка и квадрата, очевидно не годятся: в первом одно из множеств имеет меру 0, а во втором множества содержат интервалы.

Не могли бы Вы пояснить, почему в первом варианте одно из множеств будет иметь меру 0? Нельзя ли как-нибудь модифицировать такое разбиение?

[RIP]

Если на пальцах, то можно так сказать. Если мы фиксируем первую координату (в квадрате), то в терминах отрезка это значит, что мы фиксируем все нечётные цифры. Фиксирование каждой цифры уменьшает меру в 2 раза (цифры независимы), поэтому прообраз любого вертикального отрезка имеет меру $2^{-\infty}=0$ (там получается множество типа множества Кантора). А множество $A$ есть счётное объедение таких множеств.

Не знаю, можно ли его как-то модифицировать. По-моему, проще воспользоваться разбиением, которое я описал в самом первом своём посте в этой теме. Может, там не очень внятно написано, но тем лучше: можете подумать самостоятельно. Собственно ключевой момент — это возможность в любом интервале найти нигде не плотное множество положительной меры. Отсюда исходные множества строятся уже достаточно легко и непринуждённо.