Условное математическое ожидание

[Cheshire]

Случайная величина $X$ имеет равномерное распределение на отрезке $[-1,1]$. Найти $E(X|X\cdot X)$. Помогите решить, не знаю с чего начать.

[--mS--]

Попробуйте сравнить его с $\mathsf E(-X\, |\,X^2)$.

[Cheshire]

Мне кажется, что они равны, т.к. интервал симметричен относительно $0$ и распределение равномерное.

-- Вт мар 27, 2012 23:51:36 --

Только я не могу понять, что дальше. Откуда взять формулу или что-то еще.

-- Ср мар 28, 2012 00:00:00 --

Все разобрался.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Cheshire в сообщении #552849 писал(а):

Условное математическое ожидение

Поменяйте заголовок на ожирение или ожидание. А то борцы с антисемитизмом увидят - мало не покажется..

[Cheshire]

Пусть $(X,Y)$ - гауссовский вектор, $(X,Y)~N(a,E)$. Найдите $E(X|Y)$ и $E(X|X+Y)$. Подскажите с чего начать?

[PAV]

Темы объединены в одну

[--mS--]

Cheshire в сообщении #552905 писал(а):

Пусть $(X,Y)$ - гауссовский вектор, $(X,Y)~N(a,E)$. Найдите $E(X|Y)$ и $E(X|X+Y)$. Подскажите с чего начать?

С пристального вглядывания, естественно. Разве из первой задачи это не стало понятно? Кстати, $E$ - это что? Единичная матрица или просто так обозначена произвольная матрица ковариаций?

[Cheshire]

Нет, не стало. Не могу понять природу условного математического ожидания. Для меня это просто черный ящик какой-то. $E$ - это произвольная матрица ковариаций компонент гауссовского вектора.

-- Ср мар 28, 2012 12:12:43 --

В первом задании $E(X|X*X)=X$, т.к. $X$ измерима относительно сигма-алгебры, порожденной $X*X$, т.к. это борелевская функция.

[PAV]

Cheshire в сообщении #552967 писал(а):

В первом задании $E(X|X*X)=X$, т.к. $X$ измерима относительно сигма-алгебры, порожденной $X*X$, т.к. это борелевская функция.

Пожалуйста, обращайте внимание на предупреждения валидатора и не используйте звездочку в качестве знака умножения

А Ваш вывод неверен. Попробуйте осознать содержательный смысл условного математического ожидания, и применить его здесь. В данном случае это вполне рулит. Предположим, что я подглядел, какое значение получила с.в. $X$ в конкретной реализации случайного эксперимента. А Вам сообщил только, что $X^2=0.01$. Ваш ответ означает, что Вы можете по этой информации восстановить точное значение $X$. Однако это не так: может быть $X=0.1$ или $X=-0.1$, и какой случай реализовался на самом деле - Вам неизвестно.

-- Ср мар 28, 2012 13:36:00 --

Постарайтесь не зацикливаться на формальных определениях (сигма-алгебры, интегралы и т.д.), а все-таки осознать их содержательный смысл.

-- Ср мар 28, 2012 13:55:39 --

В частности, в данном случае я подскажу, что $X$ не является измеримой относительно сигма-алгебры, порожденной $X^2$. Пример, почему это так, попробуйте придумать сами. А также попробуйте понять (тоже для понимания весьма полезное упражнение) - что из себя представляет эта самая сигма-алгебра. Собственно, для строго решения задачи по определению УМО это все равно будет нужно.

[Cheshire]

Тогда в первой задаче ответ $0$, т.к. $X$ может оказаться как $0,1$, так и $-0,1$ с одинаковой вероятностью, а среднее $0$. Так правильно?

[PAV]

Ответ правильный, однако теперь его нужно обосновать строгим доказательством.

[--mS--]

PAV в сообщении #552974 писал(а):

А также попробуйте понять (тоже для понимания весьма полезное упражнение) - что из себя представляет эта самая сигма-алгебра. Собственно, для строго решения задачи по определению УМО это все равно будет нужно.

Не могу не согласиться с первой фразой, а вот то, насколько справедлива вторая, зависит очень сильно от того, как определялось у ТС УМО, какие его свойства ему известны и т.п. Например, мне вполне бы хватило УМО от минус икса, о котором шла речь выше и которым ТС не смог правильно воспользоваться, и ровно ничего не нужно знать о $\sigma(X^2)$. Хотя в любом случае это полезно.
Давайте попросим Cheshire рассказать, в какой системе аксиом он живёт. Как определялось УМО, какие формулы для вычисления оного ему можно использовать (для двумерного нормального всё равно понадобится). Известно ли что-нибудь про единственность УМО?

[Cheshire]

УМО определяется, как случайная величина удовлетворяющая двум условиям:
1) Измеримость относительно сигма-алгебры, порожденной условием
2) Интегральное условие. Для любого подмножества сигма-алгебры, порожденной условием, математические ожидания случайной величины и условного математического ожидания равны.
Свойств знаю 7 штук. Если нужно напишу.
Если математическое ожидание случайной величины конечно, то условное математическое ожидание существует и единственно.
Формул для вычисления не знаю.
Сейчас пытаюсь решить вторую задачу, как-то рассчитав мат. ожидание $X$, при известном условии и плотности гауссовского вектора. Пока не получилось.

Нам только дали немного материала, примеров по решению таких задач еще не было, я сам разбираюсь, поэтому сложно идет.

А про первую задачу, я догадался,что там ответ $0$ почти сразу, просто потом посоветовался с одногруппником, и он меня переубедил, т.к. $X$ и $-X$ равны по распределению.

[Cheshire]

Нет, все равно не могу понять как решать.((

-- Ср мар 28, 2012 21:53:32 --

Вот если $X$ и $Y$ зависимы, то как это учесть?

[--mS--]

Cheshire в сообщении #553143 писал(а):

А про первую задачу, я догадался,что там ответ $0$ почти сразу, просто потом посоветовался с одногруппником, и он меня переубедил, т.к. $X$ и $-X$ равны по распределению.

Ну в общем, стандартное определение и обычный набор свойств.

В таком случае для первой задачи следует, как уже написал PAV, выяснить, какие множества образуют сигма-алгебру, порождённую $X^2$. Т.к. никакого пространства исходов $\Omega$ не дано, то опуститься до описания множеств на языке элементарных исходов не получится. Разумный вариант - указать, какие множества из $\sigma(X)$ входят в $\sigma(X^2)$, а какие - нет. А потом, определившись, по каким множествам вычислять матожидания, тупо подставить ноль в определение и проверить, удовлетворяет ли он свойствам УМО.

А то, что $-X$ и $X$ равны по распределению, этого явно мало. Вот Вам маленькое упражнение на определения: пусть совместные распределения пар $(\xi,\eta)$ и $(\varphi,\eta)$ (пары определены на одном вероятностном пространстве, разумеется) совпадают. Ну и $\xi$ интегрируема. Докажите, что $\mathsf E(\xi | \eta)=\mathsf E(\varphi | \eta)$ п.н.

Со второй задачей (про многомерное нормальное) - ну какие-то формулы должны быть, однако. Посмотрите хоть тут раздел "УМО для абсолютно непрерывных с.в.": wiki.