Задача про меру Лебега и разбиение отрезка на два поднож-ва

[Lightyear]

Можно ли разбить отрезок $[0,1]$ на два подмножества $A, B$ так, чтобы для любого интервала $(a,b)$ выполнялись следующие неравенства $\mu(A\bigcap(a,b))>0$ и $\mu(B\bigcap(a,b))>0$?

[Lightyear]

Попытался построить такое разбиение следующим образом.
Установим между точками отрезка и точками единичного квадрата взаимно однозначное соответствие таким образом: $(0, \alpha_1 \alpha_2 \ldots , 0, \beta_1 \beta_2 \ldots ) \leftrightarrow 0,\alpha_1 \beta_1 \alpha_2 \beta_2 \ldots$
Множество тех точек отрезка, которым соответствуют те точки квадрата, у которых первая координата рациональна, обозначим $A$. Его дополнение до отрезка - $B=[0,1] \setminus A$.
Для любого интервала $(a,b)$ из $[0,1]$ множества $A\cap(a,b)$ и $B\cap(a,b)$ несчётны(поправьте, если не прав).
Каким образом можно проверить, что полученное разбиение удовлетворяет условию задачи?

[Padawan]

Можно так: накидываем в отрезок по очереди непересекающиеся отрезочки. К множеству $A$ отнесем отрезки с четными номерами, к множеству $B$ -- с нечетными. Еще надо добиться, чтобы и $A$ и $B$ образовывали плотные множества, это устроить несложно. После этого в отрезке еще останется непокрытым некоторое множество $C$. Его можно между $A$ и $B$ как угодно распределить.

[Lightyear]

Padawan, но ведь если в множестве $A$ содержится интервал $(a,b)$, то мера его пересечения с $B$ будет равна нулю, как мера пустого множества. Или множества содержат отрезки лишь на первом этапе, а затем каким-то образом "перемешиваются"?

[RIP]

Padawan в сообщении #552805 писал(а):

Можно так: накидываем в отрезок по очереди непересекающиеся отрезочки. К множеству $A$ отнесем отрезки с четными номерами, к множеству $B$ -- с нечетными.

Так не получится. Если $A$ содержит какой-нибудь отрезок, то пересечение $B$ с этим отрезком пусто. Надо чуть хитрее. Я бы делал так. Понятно, что достаточно рассматривать только интервалы с рациональными концами. Пронумеруем их в произвольном порядке. Берём первый интервал. В нём находим два непересекающихся нигде не плотных множества положительной меры (типа множества Кантора). Берём второй интервал, находим в нём подынтервал, свободный от точек уже построенных множеств, и с ним проделываем то же самое. И так до посинения.

[Padawan]

RIP в сообщении #552812 писал(а):

Так не получится.

Тьфу ты, точно. Ступил.

[Lightyear]

Цитата:

В нём находим два непересекающихся нигде не плотных множества положительной меры (типа множества Кантора).

В принципе от нас в задаче и требуется найти два таких множества. Мне кажется этот момент ничуть не проще самой задачи.

[RIP]

Ну я же написал: множество Кантора. Конечно, классическое множество Кантора имеет нулевую меру, но если на каждом шаге выбрасывать интервалы поменьше, то можно добиться и положительной меры. Детали предлагаю продумать самостоятельно.

[Lightyear]

RIP, множество Кантора с положительной мерой построить могу, это да. Но ведь его дополнение будет содержать отрезки.

[Dan B-Yallay]

В качестве идеи: используем известную биекцию отрезка на квадрат. Режем квадрат на 2 части по диагонали $y=x$. Множество $A$ - прообраз всего, что выше диагонали, а мн-во $B$ - соответственно. Вроде $A$ и $B$ должны быть плотны в друг друге.

[Lightyear]

Dan B-Yallay, а как Вам моя идея во втором посте, тоже сгодится или слишком сложное построение?

[RIP]

Вы, наверное, не поняли мою мысль. Мы строим множества $A$ и $B$ пока только для одного интервала (имеющего номер 1 в нашей нумерации). Так мы проделываем для каждого интервала с рациональными концами, а потом объединяем. Дополнительные ограничения на множества $A$ и $B$ нужны для того, чтобы добиться, чтобы все построенные куски не пересекались.

[Dan B-Yallay]

Lightyear в сообщении #552828 писал(а):

Dan B-Yallay, а как Вам моя идея во втором посте, тоже сгодится или слишком сложное построение?

Несчетность не гарантирует положительность меры. А как показать положительность для Вашего примера я сейчас не знаю.
В моем примере (если он верен) меры $A,B$ равны хотя бы в силу симметрии.

[Lightyear]

Dan B-Yallay, согласен, Ваша идея лучше. Попытаюсь доказать, что такое разбиение и является решением.

[RIP]

Кстати, оба разбиения, основанные на биекции отрезка и квадрата, очевидно не годятся: в первом одно из множеств имеет меру 0, а во втором множества содержат интервалы.