Численное моделирование волн в неограниченных областях

[Rangok]

http://savepic.su/1660361.jpg
К сожалению, я так и не смог найти литературу по искусственной вязкости, применительно к динамической теории урпугости :(

[Rangok]

Suvorov.as в сообщении #548479 писал(а):

Напрмер в уравнения можно вводить искуственную вязкость пропорциональную второй производной от функции по пространственной координате. Это сгладит выбросы.

Если я правильно понял, то дифференциальные уравнения равновесия динамической теории упругости (остановимся пока постановкой без Pml) $\left\{\begin{matrix} \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x}-\frac{\partial \tau _{xy}}{\partial y}-X=0 \\ \\ \rho\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}-\frac{\partial \sigma _{yy}}{\partial y}-\frac{\partial \tau _{xy}}{\partial x}-Y=0 \end{matrix}\right$ нужно привести примерно к такому виду $\left\{\begin{matrix} \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x}-\frac{\partial \tau _{xy}}{\partial y}-X+\lambda_x\frac{\partial^3 u}{\partial t\partial x^2}+\lambda_y\frac{\partial^3 u}{\partial t\partial y^2}=0 \\ \\ \rho\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}-\frac{\partial \sigma _{yy}}{\partial y}-\frac{\partial \tau _{xy}}{\partial x}-Y+\lambda_y\frac{\partial^3 v}{\partial t\partial y^2}+\lambda_x\frac{\partial^3 v}{\partial t\partial x^2}=0 \end{matrix}\right$ ?

[Munin]

Я думал, речь идёт о первых производных. А у вас третьи. Мне интуиция говорит, что они не улучшат ситуацию, а могут только ухудшить.

[Suvorov.as]

Munin в сообщении #552697 писал(а):

Я думал, речь идёт о первых производных. А у вас третьи. Мне интуиция говорит, что они не улучшат ситуацию, а могут только ухудшить.

Да вроде бы почти правильно. Вязкое трение по физическому смыслу пропорционально скорости деформаций сдвига. Только в гидродинамике в каждой строчке был бы лапласиан.
Посмотрите уравнения Навье-Стокса и замените скорости перемещениями

[sandh]

Открылся проект по распознаванию изображений:
http://donetwork.lenovo.com/ru/project-detail_3175_распознавание-изображений.html

Присоединяйтесь к команде!

[Suvorov.as]

В общем то, если у вас все поля такие планые, то эти вязкие потери вам и не нужны.

[Munin]

Suvorov.as
Да, спасибо, просто мне это незнакомо. Надо знаки аккуратно проверить.

[Suvorov.as]

Знаки обязательно проверить нужно.

[Rangok]

Suvorov.as в сообщении #552719 писал(а):

Посмотрите уравнения Навье-Стокса и замените скорости перемещениями

То есть вы предлагаете вводить вязкость не для скоростей деформаций, а для самих деформаций? То есть как-то так:$\left\{\begin{matrix} \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x}-\frac{\partial \tau _{xy}}{\partial y}-X+\lambda_x\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\lambda_y\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \\ \\ \rho\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}-\frac{\partial \sigma _{yy}}{\partial y}-\frac{\partial \tau _{xy}}{\partial x}-Y+\lambda_y\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\lambda_x\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=0 \end{matrix}\right$
Разве это не приведет к дополнительной сопротивляемости деформируемого тела статическим нагрузкам?

-- Ср мар 28, 2012 00:56:20 --

Suvorov.as в сообщении #552744 писал(а):

В общем то, если у вас все поля такие планые, то эти вязкие потери вам и не нужны.

А вдруг от этого будет еще лучше и я смогу, скажем, сетку пореже сделать или шаг по времени уменьшить :)

[Munin]

Как я понял, вязкость надо вводить по определению вязкости: $\vec{F}\propto -\frac{\vec{v} \cdot S}{h}$ (стырено из Википедии). Отсюда и знаки, и всё остальное. Действительно, получаются третьи производные вроде тех, которые вы сначала написали. Но не то, что у вас в последнем сообщении.

[Suvorov.as]

Rangok в сообщении #552859 писал(а):

То есть вы предлагаете вводить вязкость не для скоростей деформаций, а для самих деформаций? То есть как-то так:...

Нет, ни в коем случае. Я имел ввиду, что Навье-Стокса записано в скоростях, а вам нужно в перемещениях. Поэтому и появляются третьи производные

-- 28.03.2012, 07:18 --

Rangok в сообщении #552859 писал(а):

А вдруг от этого будет еще лучше и я смогу, скажем, сетку пореже сделать или шаг по времени уменьшить :)

Лучше не будет. Шаг сетки определяется длинами волн, прямых и отраженных от препятствий. Демпфирование на длины волн не повлияет никак. Демпфирование нужно лишь для того, чтобы в процессе решения подавить локальные флуктуации физ. полей. У вас же итак все гладко.
Чтобы избежать переотражений попробуйте увеличить длину PML слоя.

Такие флуктуации возникают например в жидкости, когда в ней бежит сильная ударная волна. Значение давления на фронте волны меняется ступенькой от 0 до P. Такое существенное локальное изменение давления ведет к образованию неустойчивостей в нелинейных задачах. У вас похожая ситуация возникала, когда вы силу прикладывали и на линии ее приложения переменные менялись ступенчато.
Теперь вы прикладываете объемный источник, поэтому никаких локальных флуктуаций у вас нет и потери собственно не особо нужны и не особо помогут.

[Munin]

Suvorov.as в сообщении #552895 писал(а):

Шаг сетки определяется длинами волн, прямых и отраженных от препятствий.

Если он не завышен на данный момент. А если завышен - улучшение численного метода позволит перестать его завышать.

[Suvorov.as]

Munin в сообщении #553045 писал(а):

Если он не завышен на данный момент

Если он составляет около 1/10 длины волны при линейной интерполяции поля внутри элемента, то этого должно хватать

[Rangok]

Munin в сообщении #552881 писал(а):

Как я понял, вязкость надо вводить по определению вязкости: $\vec{F}\propto -\frac{\vec{v} \cdot S}{h}$ (стырено из Википедии). Отсюда и знаки, и всё остальное. Действительно, получаются третьи производные вроде тех, которые вы сначала написали.

Итого оставляем уравнения в таком виде:
$\left\{\begin{matrix} \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x}-\frac{\partial \tau _{xy}}{\partial y}-X+\lambda_x\frac{\partial^3 u}{\partial t\partial x^2}+\lambda_y\frac{\partial^3 u}{\partial t\partial y^2}=0 \\ \\ \rho\frac{\partial^2 v}{\partial t^2}-\frac{\partial \sigma _{yy}}{\partial y}-\frac{\partial \tau _{xy}}{\partial x}-Y+\lambda_y\frac{\partial^3 v}{\partial t\partial y^2}+\lambda_x\frac{\partial^3 v}{\partial t\partial x^2}=0 \end{matrix}\right$?

Suvorov.as в сообщении #552895 писал(а):

Лучше не будет. Шаг сетки определяется длинами волн, прямых и отраженных от препятствий. Демпфирование на длины волн не повлияет никак. Демпфирование нужно лишь для того, чтобы в процессе решения подавить локальные флуктуации физ. полей. У вас же итак все гладко.
Чтобы избежать переотражений попробуйте увеличить длину PML слоя.

Такие флуктуации возникают например в жидкости, когда в ней бежит сильная ударная волна. Значение давления на фронте волны меняется ступенькой от 0 до P. Такое существенное локальное изменение давления ведет к образованию неустойчивостей в нелинейных задачах. У вас похожая ситуация возникала, когда вы силу прикладывали и на линии ее приложения переменные менялись ступенчато.
Теперь вы прикладываете объемный источник, поэтому никаких локальных флуктуаций у вас нет и потери собственно не особо нужны и не особо помогут.

Видите ли, сейчас я прикладываю модельную нагрузку в виде гладкого отрезка сиусойды, поэтому получается все довольно хорошо. Но, в перспективе, в качестве нагрузки должна будет задаваться сейсмограмма, в которой не все так гладко. Если не пытаться вводить эту вязкость, то для хороших, гладких результатов нужно будет делать сетку настолько мелкой, чтобы на самый коротковолновый пик на сейсмограмме приходилось как минимум 10 узлов сетки. Поскольку сейсмограмма имеет "игольчатую" структуру, то мне нужно будет слишком сильно сетку сгущать, да и шаг по времени выбирать слишком мелкий. Все это приведет к перерасходу машинного времени, поэтому я и пытааюсь из численной схемы максимум выжать.

-- Ср мар 28, 2012 20:06:26 --

Suvorov.as в сообщении #553109 писал(а):

Если он составляет около 1/10 длины волны при линейной интерполяции поля внутри элемента, то этого должно хватать

Да, 10 узлов на длину волны вполне хватает.

[Munin]

Rangok в сообщении #553118 писал(а):

Итого оставляем уравнения в таком виде

Я не знаю, что такое у вас сигма и тау, так что не могу сказать. И икс и игрек, чтобы два раза не вставать.

Rangok в сообщении #553118 писал(а):

Но, в перспективе, в качестве нагрузки должна будет задаваться сейсмограмма, в которой не все так гладко. Если не пытаться вводить эту вязкость, то для хороших, гладких результатов нужно будет делать сетку настолько мелкой, чтобы на самый коротковолновый пик на сейсмограмме приходилось как минимум 10 узлов сетки. Поскольку сейсмограмма имеет "игольчатую" структуру, то мне нужно будет слишком сильно сетку сгущать, да и шаг по времени выбирать слишком мелкий. Все это приведет к перерасходу машинного времени, поэтому я и пытааюсь из численной схемы максимум выжать.

Всё это наводит на такие мысли:

1. Не загубит ли искусственная вязкость реалистичности результатов? Она может убить прохождение реальной сейсмограммы по среде без препятствий.

2. Вообще, правильно ли выбран метод? Может быть, стоит решать задачу как-то иначе? Разложить в фурье-спектр или в вейвлеты, разделить задачу отражения "игольчатой" волны от границы раздела фаз и задачу распространения волны с некоторым интегрированным описанием её структуры, может быть, что-то ещё.