Доказать что...........

[DjD USB]

Положительные числа$x_1,x_2,.....,x_{2009}$ удовлетворяют равенствам
${x_1}^2-x_1x_2+{x_2}^2={x_2}^2-x_2x_3+{x_3}^2={x_3}^2-x_3x_4+{x_4}^2=.......={x_{2008}}^2-x_{2008}x_{2009}+{x_{2009}}^2={x_{2009}}^2-x_{2009}x_1+{x_1}^2$
Докажите,что числа $x_1,x_2,.....,x_{2009}$ равны.
Я делал так брал 1 равенство и получал вот такую совокупность:
$x_1=x_3$ и $x_3=x_2+x_4$
Потом брал 2 равенство т.е ${x_2}^2-x_2x_3+{x_3}^2={x_3}^2-x_3x_4+{x_4}^2$ Отсюда выходила совокупность $x_2=x_4$ и $x_3=x_2+x_4$ и т.д. Потом начал рассматривать 3 случая 1)когда все равны т.е из совокупности берем равенства $x_1=x_3$; $x_2=x_4$; $x_3=x_5$ и т.д. Тогда у нас все хорошо.
2)случай когда $x_2=x_1+x_3$; $x_3=x_2+x_4$ и т.д. Сложив все эти равенства мы получим неверное равенство,здесь тоже все хорошо.
И наконец 3-й случай когда например $x_1=x_3$; $x_3=x_2+x_4$(думаю вы поняли что я имел в виду).Здесь очень долго думал и ник чему не пришел.Прошу помочь.

[Shadow]

DjD USB в сообщении #552281 писал(а):

И наконец 3-й случай когда например $x_1=x_3$; $x_3=x_2+x_4$(думаю вы поняли что я имел в виду).Здесь очень долго думал и ник чему не пришел.Прошу помочь.

Вы имеете в виду, когда последовательность типа:
$a,b,a,b,a,b,...$ Если в последовательности четное число элементов, то да...

[DjD USB]

Если в последовательности четное число элементов, то да...
Что да????

[svv]

(Оффтоп)

http://www.anekdot.ru/id/303521/

[hippie]

Выберем среди чисел $x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_{2009}$ наибольшее.
Не уменьшая общности можно считать, что это $x_1.$
Тогда равенство $x_2=x_1+x_3$ не может выполняться. Следовательно $x_3=x_1.$
Аналогично $x_5=x_3;\ x_7=x_5;\ \dots; x_{2009}=x_{2007};\ $ $x_2=x_{2009};\ x_4=x_2;\ \dots;\ x_{2008}=x_{2006}.$

[DjD USB]

hippie в сообщении #552348 писал(а):

Выберем среди чисел $x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_{2009}$ наибольшее.
Не уменьшая общности можно считать, что это $x_1.$
Тогда равенство $x_2=x_1+x_3$ не может выполняться. Следовательно $x_3=x_1.$
Аналогично $x_5=x_3;\ x_7=x_5;\ \dots; x_{2009}=x_{2007};\ $ $x_2=x_{2009};\ x_4=x_2;\ \dots;\ x_{2008}=x_{2006}.$

Спасибо большое, а я столько мучался.Но все таки мне хотелось бы узнать можно было бы решить моим методом(если можно то кто-нибудь покажите то что я не доделал а то не получается что-то).

[hippie]

В решении обязательно использовать условие, что все $x_n$ положительные. Иначе утверждение становится неправильным (например, некоторые из $x_n$ равны 1, остальные 0, причём 2 нуля не могут идти подряд).
Я не вижу, как это учесть в Вашем третьем случае, не выбирая наибольшее число.

[DjD USB]

Ага спасибо все понял.Но как я понял вы не столько мой случай разбирали сколько сразу говоря про наибольшее числа пришли к Доказательству