полупрямое произведение подгрупп

[tavrik]

допустим $G$ группа, $H \vartriangleleft{G}$, $K$ подгруппа.
Известно что:
$KH=HK=G$
$K\cap{H}={1}$

1) дайте пример такого произведения(не являющегося нормальным), при этом $G$ должна быть порядка 6, не коммутативна.
2) доказать, что если дано полупрямое произведение, то каждый элемент $G$ может быть представлен в виде hk, а также в виде k'h'. И это представление - единственно.
Как взаимосвязаны k и k', h и h'?


доказательство через факторгруппу $G/H$...но как?
вторая теорема изоморфизма говорит о похожей ситуации но $K\cap{H}$ - единица; и так нормальна, и это ничего не дает...факторгруппа $G/H \cong{K}$
и связано ли это с коммутаторами?

[Sonic86]

tavrik в сообщении #552233 писал(а):

1) дайте пример такого произведения(не являющегося нормальным), при этом $G$ должна быть порядка 6, не коммутативна.

Я знаю только одну некоммутативную группу порядка 6. Пробовали ее?

tavrik в сообщении #552233 писал(а):

2) доказать, что если дано полупрямое произведение, то каждый элемент $G$ может быть представлен в виде hk, а также в виде k'h'. И это представление - единственно.
Как взаимосвязаны k и k', h и h'?

От противного: пусть есть 2 представления, преобразуете это представление и пользуетесь тем, что $K\cap{H}={1}$.
Можно доказательство в Винберге посмотреть.

[tavrik]

да, действительно одну. и еще там дальше есть утверждение о том, что любая группа порядка pq, где p, q разные простые числа - является полупрямым прозведением. 3 и 2 простые.

[Sonic86]

tavrik в сообщении #552270 писал(а):

и еще там дальше есть утверждение о том, что любая группа порядка pq, где p, q разные простые числа - является полупрямым прозведением. 3 и 2 простые.

Угу. Если нужно, доказательство этого утверждения Вы можете найти в книге Каргаполова Мерзлякова Теория групп (делается через теорему Силова).

[tavrik]

следующий вопрос(доказать что $\Phi_a:H\rightarrow{H}, \Phi_a(h)=ah^{-1}a; \Phi:K\rightarrow{Aut(H)}, \Phi(a)=\Phi_a$ являются эндоморфизмом и автоморфизмом соответственно) я вроде сделал.
а преобразовать произведения hk и h*k* (и показать, что в $k\cap{H}$находится элемент отличный от единицы?) не получается.

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #552277 писал(а):

а преобразовать произведения hk и h*k* (и показать, что в $k\cap{H}$находится элемент отличный от единицы?) не получается.

$kh=k_1h_1 \Leftrightarrow k_1^{-1}k=h_1h^{-1}$. Дальше сами , все очень просто.