Простенький вопрос из теории групп...

[geniy88]

Здравствуйте. Меня замучил один переход в доказательстве одной задачки. Помогите разобраться.

В свободной группе $F$ задан centraliser элемента $w$. Почему из равенства $u^{k}w=wu^{k}$ следует $uw=wu$, где $u$ принадлежит группе $F$. Centraliser комутативен.

Заранее благодарен.

[Профессор Снэйп]

geniy88 в сообщении #552144 писал(а):

задан centraliser

Это по каковски?

[Sonic86]

geniy88 в сообщении #552144 писал(а):

centraliser

Вроде бы централизатор.
Если $w$ - слово, то централизатор содержит как минимум все степени $w$, если $w$ - нетривиальная степень, то централизатор больше (сами угадайте, какой он)

geniy88 в сообщении #552144 писал(а):

Почему из равенства $u^{k}w=wu^{k}$ следует $uw=wu$, где $u$ принадлежит группе $F$

Ну здесь можно просто использовать тот факт, что свободная группа - фактор свободного моноида по соотношениям $x_jx_j^{-1}=1$ Проще говоря, сократите элементы в этом соотношении и рассматривайте их как слова.

geniy88 в сообщении #552144 писал(а):

Centraliser комутативен.

Это вопрос или утверждение? В любом случае, оно простое.

[geniy88]

Профессор Снэйп, извените, но я не нашел перевода этого слова поэтому написал по английски.
Sonic86, согласен $w$ и все степени $w$ принадлежат централизатору и цетрализатор имеет бесконечно много элементов. Что означает "Проще говоря, сократите элементы в этом соотношении и рассматривайте их как слова." ?

[Sonic86]

geniy88 в сообщении #552245 писал(а):

Что означает "Проще говоря, сократите элементы в этом соотношении и рассматривайте их как слова." ?

У Вас свободная группа как строится? Как фактор группа словарной полугруппы? Если да, то элементы свободной группы - классы эквивалентных слов. В каждом классе есть слово минимальной длины - его представитель. Я Вам предлагаю найти представителей для левой и правой части соотношения $u^{k}w=wu^{k}$ и их приравнять. Решать уравнения в словах легче, чем в свободной группе. Для нахождения представителей Вам нужно лишь сократить эти слова, в данном случае это несложно.
Может можно как-то иначе, но этот метод гарантированно работает.

[geniy88]

Я кажется разобрался,
$u^{k} w = w u^{k} \Longrightarrow w^ {-1} u^{k} w = w \Longrightarrow$
${(w^{-1}uw)}^{k} = u^{k} \Longrightarrow {w^{-1}uw} = u \Longrightarrow uw = wu$

[Sonic86]

О, да, так даже гораздо лучше (быть может можно докопаться до операции убирания степени, но тут все понятно)

[geniy88]

Спасибо за помощь! Можно продолжать читать доказательство :) Груз с плеч :)

[Sonic86]

geniy88 в сообщении #552264 писал(а):

Спасибо за помощь! Можно продолжать читать доказательство :) Груз с плеч :)

Классно!

Add:

Sonic86 в сообщении #552260 писал(а):

быть может можно докопаться до операции убирания степени, но тут все понятно

Тут достаточно доказать, что нет корней из единицы, вот это сделать как раз легко, но все-таки через представителей классов.