Нетривиальный стабилизатор при действии группы симметрий

[xmaister]

Как найти все $x\in\mathbb{R}^2$, имеющие нетривиальный стабилизатор при действии группы симметрий правильного $n$-угольника?

[Sonic86]

xmaister в сообщении #551881 писал(а):

Как найти все $x\in\mathbb{R}^2$, имеющие нетривиальный стабилизатор при действии группы симметрий правильного $n$-угольника?

Можно найти саму группу, а неподвижные точки ее элементов известны.

[xmaister]

Sonic86 в сообщении #551901 писал(а):

Можно найти саму группу

Вроде бы получается, что $\mathrm{Sym}(n)=\{r_0,\ldots ,r_{n-1},s_1\ldots ,s_{n}\}$, где $r_k$- поворот на $\frac{2\pi k}{n}$ относительно центра, $s_k$- отражение относительно оси симметрии. Но чё-то не догоняю как доказать, что других изометрий нет...

[AV_77]

Группа симметрий правильного $n$-угольника это группа диэдра.

xmaister в сообщении #552140 писал(а):

чё-то не догоняю как доказать, что других изометрий нет...

Зафиксируйте одну вершину и посмотрите куда может переходить она и соседняя с ней. Если порядок сохранится, то будет поворот, если нет - то поворот и отражение.

[xmaister]

Пусть $g$- изометрическое отображение $n$- угольника, тогда $\forall k\forall m\quad d(A_k,A_m)=d(g(A_k),g(A_m))$. Пусть $g(A_i)=A_j$. Тогда $g(A_{i-1})=A_{j-1}$ или $g(A_{i-1})=A_{j+1}$. Если $g(A_{i-1})=A_{j-1}$, тогда получаем, что $g\equiv r_{|i-j|}$. Если $g(A_{i-1})=A_{j+1}$, то вроде бы интуитивно понятно, что это отражение, но явно затрудняюсь его указать.

[AV_77]

Это отражение относительно прямой, проходящей через центр многоугольника и вершину $A_j$.

[xmaister]

Не понял. Если взять отображение относительно оси проходящей через центр и вершину $A_j$, то точка $A_j$ должна сама в себя перейти, разве нет?

[AV_77]

Правильно. Композиция поворота и отражения получится.

[ИСН]

Тут ещё чётность важна. Для чётных n не все отражения проходят через вершины.

[xmaister]

А, теперь получилось, но как-то криво. При отражении получается $A_{i}\leftrightarrow A_{2j-i}$, при $2j>i$ или $A_{i}\leftrightarrow A_{2n-2j-i}$, при $2j\le i< n$ или $2j< i\le n$ или $A_i\leftrightarrow A_i$, при $2j=i=n$ . Соответственно поворачивая в первом случае на $\frac{2\pi \operatorname{sgn}(j-i)|j-i|}{n}$, во втором $\frac{2\pi \operatorname{sgn}(2j+2i-2n)|2j+2i-2n|}{n}$, в третьем $\frac{2\pi \left[\frac{n}{2}\right]}{n}$. Подскажите, это верно?

-- 25.03.2012, 23:58 --

ИСН в сообщении #552157 писал(а):

Тут ещё чётность важна. Для чётных n не все отражения проходят через вершины.

Точно, спасибо. Но тут вроде понятно, как ось симметрии найти, относительно которой поворачивают.

[xmaister]

Пусть есть произвольное действие $\alpha :G\to S(\mathbb{R}^2)$. Беру $x\in\mathbb{R}^2$ и полагаю, что $\operatorname{St}(x)\ne\{r_0\}$. Не ясность возникает из-за того, что действие произвольное и $x$ тоже. Подскажите, как быть?

[Sonic86]

xmaister в сообщении #552186 писал(а):

Не ясность возникает из-за того, что действие произвольное и $x$ тоже. Подскажите, как быть?

Ну мы же знаем все движения - это либо повороты, либо симметрии. Если движение - поворот, то у него какие могут быть неподвижные точки. Тогда тут рассматриваем 2 случая $x$ и тогда все понятно. Далее, если движение - симметрия, то у него есть ось неподвижных точек (и больше нет). Тоже рассматриваем варианты $x$ и все.

[xmaister]

Sonic86, я Вас не понял
Если рассматривать, что $\alpha(g)=g$, тогда при повороте неподвижным будет центр поворота, а при отражении будет ось. Но я не пойму, какая связь между неподвижными точками, при поворотах и отражениях и произвольным взаимно однозначным отображением $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, которое их может не иметь вообще. $\alpha(g)$- произвольная биекция, не факт, что изометрия.

[Sonic86]

Ааа, т.е. у Вас группа может действовать иначе? Тогда я тоже пока не знаю

[xmaister]

Sonic86 в сообщении #552249 писал(а):

Ааа, т.е. у Вас группа может действовать иначе?

Я так понял, что действие группы, в частности $\operatorname{Sym}(n)$, на множестве $\mathbb{R}^2$ понимается как произвольный гомоморфизм $\alpha :\operatorname{Sym}(n)\to\mathbb{R}^2$, если не оговорено что-то конкретное.