Квантовая физика.Эрмитовость оператора.

[Karabas]

Доказать эрмитовость оператора $x\hat{p}_x$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi^*_1 x\hat{p}_x \psi_2 dx=-i\hbar\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi^*_1 x \frac{\partial \psi_2}{\partial x}dx=-i\hbar(\psi^*_1x\psi_2\lvert_{-\infty}^{+\infty}-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi_2 \frac{\partial (\psi^*_1x)}{\partial x}dx)=$
$=-i\hbar(\psi^*_1x\psi_2\lvert_{-\infty}^{+\infty}-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi_2 (x\frac{\partial \psi^*_1}{\partial x}+\psi^*_1)dx)$
Не могу понять $\psi^*_1x\psi_2\lvert_{-\infty}^{+\infty}$ равно 0 или нет.
\psi^*_1 и \psi_2 равны 0 на бесконечности, т.к. это волновые функции.Не знаю куда двигаться дальше.

[ewert]

Karabas в сообщении #551481 писал(а):

Доказать эрмитовость оператора $x\hat{p}_x$

Как он может быть эрмитов, если сомножители сами по себе эрмитовы и при этом ни разу не коммутируют.

[Karabas]

Из того, что операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ эрмитовы и коммутирующие, следует эрмитовость $\hat{A}\hat{B}$.
Но ведь это необходимое условие, а не достаточное.Т.е. из того, что операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ не коммутируют, нельзя сделать вывод о неэрмитовости $\hat{A}\hat{B}$.
Если я в чем-то неправ, поправьте пожалуйста.

[type2b]

$A^\dagger=A$, $B^\dagger=B$, $(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger = BA = AB - [A,B]$.
$AB=(AB)^\dagger\Rightarrow [A,B]=0$.

[Karabas]

Гамильтониан $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+\hat{U}$ является эрмитовым, так как энергия - вещественная величина.
Так как $\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}$ - эрмитов оператор, а $\hat{H}=-\frac{\hat{p}^2}{2m}+\hat{U}$ ,то $-\frac{\hat{p}^2}{2m}$ также эрмитов. Как доказать эрмитовость оператора потенциальной энергии ?

[ewert]

Karabas в сообщении #551682 писал(а):

Гамильтониан $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+\hat{U}$ является эрмитовым, так как энергия - вещественная величина.

Наоборот: потому вещественна, что гамильтониан эрмитов.

Karabas в сообщении #551682 писал(а):

Как доказать эрмитовость оператора потенциальной энергии ?

Для начала -- вспомнить определение эрмитовости.

[Karabas]

Оператор, удовлетворяющий условию $\int\psi^*_1\hat{A}\psi_2 dV=\int\psi_2\hat{A}^*\psi^*_1dV$ , где $\psi_1$ и $\psi_2$ - произвольные функции, называется эрмитовым.В учебнике такое определение.

[ewert]

Нет, немножко не такое. Т.е. не должно быть таким.

[Karabas]

Тогда так : оператор называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным.
$\int\psi^*_1\hat{A}\psi_2 dV=\int\psi_2(\hat{A}^\dagger\psi_1)^*dV=\int\psi_2(\hat{A}\psi_1)^*dV$
То есть $\hat{A}^\dagger=\hat{A}$
Это верное определение?

[ewert]

Во всяком случае, это уже гораздо лучше.

Теперь прикиньте: насколько изменится действие того оператора при комплексном сопряжении, при котором вообще ничего не изменится?...

[Karabas]

Оператор потенциальной энергии сводится к умножению на функцию.Но мы заранее не знаем, что это вещественная функция.Тогда нельзя сказать, что при комплексном сопряжении ничего не изменится.

[ewert]

Karabas в сообщении #551781 писал(а):

Но мы заранее не знаем, что это вещественная функция.

Заранее знаем. Это просто модель такая. А без тех или иных моделей -- мы ровно ни шагу.