Определение ковариантного дифференцирования

[Oleg Zubelevich]

Вопрос такой. Насколько приемлемо с точки зрения большой науки вводить для прикладных целей понятие связности следующим образом.

$M$ -- гладкое многообразие. $T(p,q)$ -- пространство гладких тензорных полей типа $(p,q)$ на $M$.

Опр. Говорят, что на $M$ задана операция ковариантного дифференцирования, если каждому вектору $X\in T(1,0)$ сопоставлена операция $\nabla_X:T(1,0)\to T(1,0)$ обладающая следующими свойствами

1) $\nabla_X(Y+Z)=\nabla_XY+\nabla_XZ,$
2) $\nabla_{X+fZ}Y=\nabla_XY+f \nabla_{Z}Y,$ где $f\in T(0,0)$ -- функция на $M$;
3) $ \nabla_X (fY)=(L_Xf )Y+f\nabla_XY$, где $L_X$ -- производная Ли

Если на многообразии задана локальная система координат $(x^1,\ldots, x^m)$ с базисными векторами $e_1,\ldots, e_m$ то можно определить $\nabla_k=\nabla_{e_k}$,
ввести сиволы Крисоффеля $\nabla_ke_j=\Gamma^s_{jk}e_s$ и получить формулу $\nabla_k u^r=\frac{\partial u^r}{\partial x^k}+u^s\Gamma^r_{sk}$. Дальше можно написать уравнение параллельного переноса векторного поля вдоль кривой.

Для того что бы продолжить операцию ковариантного дифференцирования на произвольные тензорные поля $\nabla_X: T(p,q)\to T(p,q)$ добавим еще два правила Лейбница.
Пусть $g\in T(0,1),\quad u\in T(1,0),\quad U\in T(p,q),\quad V\in T(p',q')$ тогда

4) $\nabla_Xg(u)=(\nabla_X g)(u)+g(\nabla_Xu),$
5) $\nabla_X(U\otimes V)=U\otimes\nabla_X V+(\nabla_XU)\otimes V.$

Формула 4) позволяет распространить операцию ковариантного дифференцирования на ковекторы: $\nabla_k e^j=-\Gamma^j_{lk}e^l.$ И тогда по формуле 5) ковариантное дифференцирование определено для тезоров любого типа.
В частности, сопоставляя 5) и 3) найдем $\nabla_Xf=L_Xf$.

[maxmatem]

Oleg Zubelevich
Вот напримeр 3-й пункт вашeго опрeдeлeния можно вводить и бeз производной Ли, (просто вспомнить , что вeкторныe поля являются диффeрeнцированиями алгeбры гладких функций.)

[Oleg Zubelevich]

maxmatem в сообщении #550321 писал(а):

Oleg Zubelevich
Вот напримeр 3-й пункт вашeго опрeдeлeния можно вводить и бeз производной Ли, (просто вспомнить , что вeкторныe поля являются диффeрeнцированиями алгeбры гладких функций.)

да, являются, и как вводить 3) пункт без производной Ли?

[svv]

Имелось в виду вместо $L_X f$ написать $Xf$, которое фигурирует здесь в определении:

Цитата:

Касательным вектором к гладкому многообразию $M$ в точке $p\in M$ называется оператор $X$, сопоставляющий каждой гладкой функции $f: M\to\mathbb R$ число $Xf$ ...

[Oleg Zubelevich]

т.е. разница в том, что оператор $X$ может быть определен в единственной точке, а в $L_X$ $X$ должно быть векторным полем?
Мне так кажется, что это определения операции $\nabla$ не изменит

[svv]

Предложение было просто в том, чтобы не называть $X^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$ производной Ли (которой оно, конечно, является), а использовать более простой и менее пугающий термин.
А $Xf$ -- производная $f$ по направлению $X$ -- это нечто первичное.

Есть и другие варианты: $i_X df$, или $df(X)$.

[Oleg Zubelevich]

понял, спасибо