Нахождение элемента наилучшего приближения через ряд Тейлора

[folex]

Доброго времени суток!

Мне хотелось бы найти расстояние от функции $\frac{1}{t}$ до линейной оболочки вектора $(1, t)$ в пространстве непрерывных на $[1, 3]$ функций.
Иначе: Найти $d(\frac{1}{t},<1,t>)$ в $C[1,3]$.

Сначала я попытался сделать это напрямую, используя определения нормы и расстояния в этом пространстве, и пришел к тому, что мне нужно найти
$inf\{max\{|\frac{1}{t} - u - vt|\}\}, t \in [1,3], u,v \in \mathbb{R}$ $(1)$
Это показалось мне не совсем тривиальной задачей, и я решил пойти по описанному ниже пути. Если же кто-нибудь покажет мне, как решать $(1)$, я буду безмерно благодарен.

Итак, я решил найти элемент наилучшего приближения функции $\frac{1}{t}$ линейной оболочкой вектора $(1,t)$.
Это можно делать алгоритмом Ремеза, следующим, насколько я понимаю, сразу же из теоремы Чебышева. Эта задача так же достаточно трудоемка, ну или по крайней мере утомительна и рутинна, если делать вручную.
Возник вопрос: можно ли сделать это как-либо ещё? Пришла в голову идея просто напросто разложить функцию в ряд тейлора до нужной мне степени многочлена, и сказать, что это и есть ЭНП.
К сожалению, мои скудные познания не позволяют мне оценить валидность подобных действий. Потому я и пишу сюда.

Итак, можно ли считать разложение элемента $\frac{1}{t}$ пространства $C[1,3]$ в ряд Тейлора до первой степени элементом наилучшего представления оболочкой вектора $(1, t)$?

Спасибо за ответы.

P.S. Прошу прощения за такую запутанную формулировку: лучше не смог.

[bot]

Ваши вектор и функция - элементы разных пространств. Может быть в качестве приближения Вы хотите найти линейную функцию $a+bt$? Полином Тейлора даёт наилучшее приближение в точке, а какую точку Вы берёте? Скорее Вам требуется приближение в среднем, а это стандартная задача в пространстве со скалярным произведением - ну типа МНК.

[hippie]

В общем случае решение уравнения (1) действительно сложная задача.
Но функция $f(t)=\frac 1t$ выпукла на отрезке $[1;\ 3].$ А для выпуклых (неважно, вверх или вниз) функций есть простой алгоритм нахождения наилучшего линейного приближения в пространстве $C[a;\ b].$

1) Находим уравнение прямой $l_1(x)=\alpha x+\beta_1,$ проходящей через точки $(a;\ f(a))$ и $(b;\ f(b)).$
2) Находим точку $x_0,$ в которой $f'(x_0)=\alpha=\frac {f(b)-f(a)}{b-a}.$
3) Находим уравнение касательной $l_2(x)=\alpha x+\beta_2$ к графику $f(x)$ в точке $x_0.$
4) Наилучшим линейным приближением (выпуклой) функции $f(x)$ на отрезке $[a;\ b]$ является функция $l(x)=\frac {l_1(x)+l_2(x)}2 = \alpha x+\frac {\beta_1+\beta_2}2.$

Расстояние от построенной линейной функции до исходной равно $\frac {|\beta_1-\beta_2|}2$ и достигается в трёх точках: $a,\ b,\ x_0.$

[nnosipov]

hippie, опередили. Я бы ещё произнёс слово "альтернанс". Доказательство п. 4) оставим ТС в качестве упражнения.

[Sefko]

(Оффтоп)

hippie в сообщении #551296 писал(а):

2) Находим точку $x_0,$ в которой $f'(x_0)=\alpha=\frac {f(b)-f(a)}{b-a}.$

Применительно к обсуждаемой здесь конкретной задаче - никаких вопросов. Лично мне предложенный вариант решения представляется исчерпывающим (с учетом того, что доказательство предложено в качестве "домашнего задания").

Мой вопрос связан с несколько иной задачей: а что если выпуклая функция задана не аналитически, а набором значений в N точках? Скажем, значения функции измерены экспериментально с "достаточно малой" погрешностью? Как найти пресловутую точку $x_0$?

[worm2]

Sefko писал(а):

если выпуклая функция задана не аналитически, а набором значений в N точках? Скажем, значения функции измерены экспериментально с "достаточно малой" погрешностью? Как найти пресловутую точку $x_0$?

Рассмотрите функцию $g(x)=f(x)-\alpha x$ и ищите её максимум. Ну или минимум, смотря куда она выпукла.

[Sefko]

worm2 в сообщении #551349 писал(а):

Рассмотрите функцию $g(x)=f(x)-\alpha x$ и ищите её максимум. Ну или минимум, смотря куда она выпукла.

Да уж. Что-то у меня мозга с мозгой в прятки заигрались.
Ладно - будем считать это дополнительной подсказкой к "домашнему заданию".

[bot]

(Оффтоп)

bot в сообщении #551292 писал(а):

Скорее Вам требуется приближение в среднем

Ерундой болтанул - и где это я $L$ углядел?

[ewert]

(Оффтоп)

вот что удивительно: ТС знает, что такое теорема Чебышёва и даже про алгоритм Ремеза. Но вот на картинке эту теорему почему-то в упор не видит.