Найти экстремали функционалов

[freedom_of_heart]

1) $\displaystyle\int_0^1{\ddot x}^2\,dt\to\operatorname{extr}\,\,\,\,x(1)=\dot{x}(0)=0;\,\,\dot{x}(1)=1$

Попытка решения в оффтопе

(Оффтоп)

Введем новые переменные

$x_1(t)=x(t)$

$\dot{x_1}(t)=x_2(t)$

$\displaystyle\int_0^1{\dot x_2}^2\,dt\to\operatorname{extr}$

Уравнение связи $\dot{x_1}(t)=x_2(t)$

$x_1(1)=x_2(0)=0;\,\,\x_2(1)=1$

Вспомогательный функционал

$F=\displaystyle\int_0^1{\big[\dot x_2}^2+p(t)(\dot{x_1}-x_2)\big]\,dt$

Уравнение Эйлера по $x_1$ это $\dot{p}(t)=0$ $\leftrightarrow$ $p(t)=C$


Уравнение Эйлера по $x_2$ это $2\ddot {x}_2-p(t)=0$

Значит $\ddot {x}_2=\frac{C}{2}$

$x_2=\dfrac{Ct^2}{2}+C_1t+C_2$

$x=\displaystyle\int x_2\,dt=\dfrac{Ct^3}{6}+\dfrac{C_1t^2}{2}+C_2t+C_3$

Но у нас ведь три начальных условия, а констант 4. Какого условия не хватает?

2)
$\displaystyle\int_0^T({\dot x}^2+{x}),dt\to\operatorname{extr}\,\,\,\,\,x(0)=1$

Попытка решения в оффтопе.

(Оффтоп)

Уравнение Эйлера-Лагранжа

$2\ddot{x}-1=0$

$\dot{x}=\dfrac{x}{2}+C_1$

$x(t)=\dfrac{t^2}{4}+C_1t+C_2$

$x(0)=0$ => $C_2=0$

Правильно ли понимаю, что нужно использовать естественное граничное условие

$\dot{x}(T)=0$

$\dfrac{T}{2}+C_1=0$

Значит


$x(t)=\dfrac{t^2}{4}-\dfrac{t\cdot T}{2}$

Верно?

3)
$\displaystyle\int_0^\pi({\dot x}^2-{x}),dt\to\operatorname{extr}\,\,\,\,\,|\dot{x}|\leqslant 1\,\,\,\,x(0)=0$

Попытка решения:

(Оффтоп)

Из уравнения Эйлера $2\ddot{x}+1=0$ следует, что

$x(t)=-\dfrac{t^2}{4}+C_1t+C_2$

$x(0)=C_2=0$

А как использовать то, что $|\dot{x}|\leqslant 1$ и то ,что вверху интеграла $\pi$? (кстати, может не $\pi$, а там может быть что-то другое...(криво написано в тетради)

Попытка решения в оффтопе.

[мат-ламер]

По поводу первой задачи. Допустим получили семейство решений, зависящее от параметра. Исследуйте его дальше. Могут случиться ситуации, когда функционал тождественен на всём семействе или минимум не достигается.
По поводу третьей задачи. Это задача оптимального управления. Тут теория другая.

[freedom_of_heart]

мат-ламер в сообщении #550889 писал(а):

По поводу первой задачи. Допустим получили семейство решений, зависящее от параметра. Исследуйте его дальше. Могут случиться ситуации, когда функционал тождественен на всём семействе или минимум не достигается.
По поводу третьей задачи. Это задача оптимального управления. Тут теория другая.

Спасибо. Не знаю - правильно ли поняла про первую.

1) Вот мы получили $x(t)=\dfrac{Ct^3}{6}+\dfrac{C_1t^2}{2}+C_2t+C_3$

Используем условия

$x(1)=\dot{x}(0)=0;\,\,\dot{x}(1)=1$

$x(0)=C_3=0$

$\dot{x}(0)=C_2=0$

$x(1)=\dfrac{C}{6}+\dfrac{C_1}{2}=1$

$C+3C_1=6$

$C=3(2-C_1)$

Таким образом у нас получается следующая экстремаль.

$x(t)=\dfrac{(2-C_1)t^3+C_1t^2}{2}$

Она зависит от параметра $C_1$

Приходит лишь мысль взять производную по этому параметру.

$\frac{\partial x}{\partial C_1}=\dfrac{-t^3+t^2}{2}=0$

Но пока что не очевидно - зачем это нужно.

2) А вторая -- правильно?

3) Да, эта задача как-то связана с принципом максимума Понтрягина (который я не поняла, какой-то он сложный). А чего следует начать решать эту задачу?

[ИСН]

1) Да, действительно, зачем? Почему не прибавить эту C? Не поделить на неё? Не вычесть?..
Вы что найти хотели? Минимум какого-то функционала. Ну а чему равен этот функционал при С=1? А при 2? А при 0? Понятно, к чему я веду?

[мат-ламер]

Не понял, почему Вы в первой и второй задаче положили $x(0)=0$ ? И откуда во второй задаче выплыло естественное краевое условие? По поводу третьей задачи я думаю, что надо в учебнике прочитать про принцип максимума и попытаться его выписать.

(Оффтоп)

Заглянул на форум на минутку и удаляюсь. Так что извините. ИСН продолжит.

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #550908 писал(а):

1) Да, действительно, зачем? Почему не прибавить эту C? Не поделить на неё? Не вычесть?..
Вы что найти хотели? Минимум какого-то функционала. Ну а чему равен этот функционал при С=1? А при 2? А при 0? Понятно, к чему я веду?

Да, функционал равен нулю (так как $\ddot x=\operatorname{const}$). Это означает, что минимум не достигается?

-- Ср мар 21, 2012 22:08:16 --

мат-ламер в сообщении #550915 писал(а):

Не понял, почему Вы в первой и второй задаче положили $x(0)=0$ ? И откуда во второй задаче выплыло естественное краевое условие?

Да, я ошиблась про x(0)=0

Естественное условие всплыло, так как нужно найти константы и вроде как именно его и нужно использовать в случае незакрепленных концов, когда конец не движется вдоль заданной линии.

[MaximVD]

freedom_of_heart в сообщении #550903 писал(а):

Таким образом у нас получается следующая экстремаль.
$ x(t)=\dfrac{(2-C_1)t^3+C_1t^2}{2} $

freedom_of_heart в сообщении #550923 писал(а):

Да, функционал равен нулю (так как $\ddot x = \operatorname{const}$). Это означает, что минимум не достигается?

А я почему-то всегда думал, что вторая производная от $t^3$ равна $6t$.

Во второй задаче никакого дополнительного граничного условия придумывать не надо. Действовать надо будет также, как и в первой задаче.

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #550967 писал(а):

А я почему-то всегда думал, что вторая производная от $t^3$ равна $6t$.

Во второй задаче никакого дополнительного граничного условия придумывать не надо. Действовать надо будет также, как и в первой задаче.

Ой. Исправляюсь.

$\displaystyle\int_0^1(Ct+C_1)\,dt=\dfrac{C}{2}+C_1=\frac{C+C_1}{2}$

Ищем экстремум по $t$, то $\dfrac{d}{dt}\Big(\frac{Ct+C_1}{2}\Big)=\dfrac{C}{2}=0$

Значит $C=0$

Тогда $C_1=2$

(C_1=2 из последнего уравнения этой серии с учетом того, то С=0)

Используем условия

$x(1)=\dot{x}(0)=0;\,\,\dot{x}(1)=1$

$x(0)=C_3=0$

$\dot{x}(0)=C_2=0$

$x(1)=\dfrac{C}{6}+\dfrac{C_1}{2}=1$

$C+3C_1=6$

$C=3(2-C_1)$

$x(t)=t^2$ - нужная экстремаль?

Правильно теперь?

[MaximVD]

freedom_of_heart
Во-первых, вы до этого правильно выразили $C$ через $C_1$, а теперь почему-то подставляете и $C$ и $C_1$ вместе. Во-вторых, вроде интегрируем по $t$ от $0$ до $1$, а $t$ всё равно после этого остаётся.
Немного внимательнее и у вас всё получится!

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #550976 писал(а):

freedom_of_heart
Во-первых, вы до этого правильно выразили $C$ через $C_1$, а теперь почему-то подставляете и $C$ и $C_1$ вместе. Во-вторых, вроде интегрируем по $t$ от $0$ до $1$, а $t$ всё равно после этого остаётся.
Немного внимательнее и у вас всё получится!

$t$ лишнее убрала (описалась).

Производная константы по-любому равна нулю. Значит при любой константе достишается экстремум. А это значит, что она в ответе и останется?

-- Чт мар 22, 2012 01:19:47 --

Про вторую задачу.

2)
$\displaystyle\int_0^T({\dot x}^2+{x}),dt\to\operatorname{extr}\,\,\,\,\,x(0)=1$

Уравнение Эйлера-Лагранжа

$2\ddot{x}-1=0$

$\dot{x}=\dfrac{t}{2}+C_1$

$x(t)=\dfrac{t^2}{4}+C_1t+C_2$

$x(0)=0$ => $C_2=0$

$x(t)=\dfrac{t^2}{4}+C_1t$

$$\displaystyle\int_0^T({\dot x}^2+{x}),dt=\displaystyle\int_0^T\Big(\big(\dfrac{t}{2}+C_1\big)^2+\dfrac{t^2}{4}+C_1t\Big),dt=\displaystyle\int_0^T\Big(\dfrac{t^2}{4}+C_1t+C_1^2+\dfrac{t^2}{4}+C_1t\Big)dt=$$

$$=\displaystyle\int_0^T\Big(\dfrac{t^2}{2}+2C_1t+C_1^2\Big)dt=\dfrac{t^3}{6}\Bigg|_0^T+C_1t^2\Bigg|_0^T+C_1^2t\Bigg|_0^T= \dfrac{T^3}{6}+C_1T^2+C_1^2T$$

Теперь осталось выяснить - при каких $C_1$ и $T$ выражение $\dfrac{T^3}{6}+C_1T^2+C_1^2T$ имеет максимальное(или минимальное) значение? Так? Нужно взять производную по $T$?

Про принцип максимума Понтрягина

(Принцип Максимума Понтрягина)

Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно $\hat{L}_{u}=0$.

В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):

$$\begin{align} \min_{u \in U}L(t,x(t),\dot{x}(t),u)&=L(t,\hat{x}(t),\dot{x}(t),\hat{u}) \Longleftrightarrow\\ &\Longleftrightarrow \min_{ u \in U}\left(F(t,x(t),u)-\lambda(t)a(t,x(t),u)\right)=f(t)-\lambda(t)a(t). \end{align}$ $ (6)

В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона Н, определяемой соотношением $H = F(t,x(t),u) - \lambda(t)a(t,x(t),u)$. Из уравнений следует, что функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L следующим образом: $L=H+\lambda(t)\dot{x}(t)$. Подставляя L из последнего уравнения в уравнения (3-5) получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:

* уравнение управления по u: $\hat{H}_{u}=0$, (7)
* уравнение состояния: $\dot{x}=-\hat{H}_{\lambda}$, (8)
* сопряжённое уравнение: $\dot{\lambda}=\hat{H}_{x}$, (9)
* трансверсальность по x: $\lambda \hat{t}_0 =\hat{l}_{x(t_0)}$, $\lambda \hat{t}_1=-\hat{l}_{x(t_1)}$ (10)

Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина.

[MaximVD]

1) Только сейчас заметил. Когда вы находили константы $C$, $C_1$, $C_2$, $C_3$, то, как правильно указал мат-ламер, вы случайно положили $x(0) = 0$, поэтому экстремаль будет несколько другая. Но это не столь важно.
В вашей задаче не закреплено значение на левом конце $x(0)$. Неизвестная константа как раз определяет это значение. (Должно быть $x(0) = C_3$). Вычислив значение функционала на найденной вами экстремали, получим некоторое значение, очевидно, зависящее от той самой неизвестной константы, которая определяет где же находится левый конец кривой. Изменяя значение этой константы, мы изменяем положение левого конца кривой - $x(0)$ - и тем самым изменяем и значение функционала. В вашей задаче требуется найти такую экстремаль, которая давала бы наименьшее (или наибольшее) значение при любом $x(0)$. Поэтому...

2)Во второй задаче всё то же самое, что и в первой. Только $T$ там выступает в качестве фиксированного параметра. Вы не можете его выбирать, но от значения $T$ будет зависеть экстремаль.

3)Про принцип максимума Понтрягина. Теперь понятно, почему

freedom_of_heart в сообщении #550903 писал(а):

Да, эта задача как-то связана с принципом максимума Понтрягина (который я не поняла, какой-то он сложный).

У вас он записан в какой-то сложной и непонятной форме. Но, чтобы пока не забивать голову, с ним лучше разобраться после первой и второй задачи.

[freedom_of_heart]

Ок. Переделываю.

$x(1)=\dot{x}(0)=0;\,\,\dot{x}(1)=1$

$x(t)=\dfrac{Ct^3}{6}+\dfrac{C_1t^2}{2}+C_2t+C_3$

$\dot{x}(t)=\dfrac{Ct^2}{2}+C_1t+C_2$

$\dot{x}(0)=C_2=0$

$x(1)=\dfrac{C}{6}+\dfrac{C_1}{2}+C_3=0$

$\dot{x}(1)=\dfrac{C}{2}+C_1=1$

Выразим константы через $C$

$C_1=\dfrac{2-C}{2}$

$\dfrac{C}{6}+\dfrac{2-C}{4}+C_3=0$

$C_3=\dfrac{C-2}{4}-\dfrac{C}{6}=\dfrac{3C-6-2C}{12}=\dfrac{C-6}{12}$

$x(t)=\dfrac{Ct^3}{6}+\dfrac{(2-C)t^2}{4}+\dfrac{C-6}{12}$

MaximVD в сообщении #551057 писал(а):

Изменяя значение этой константы, мы изменяем положение левого конца кривой - $x(0)$ - и тем самым изменяем и значение функционала. В вашей задаче требуется найти такую экстремаль, которая давала бы наименьшее (или наибольшее) значение при любом $x(0)$. Поэтому...

Поэтому

$x'(t)=\dfrac{Ct^2}{2}+\dfrac{(2-C)t}{2}=0$

Ну не знаю, что дальше((((((((

[MaximVD]

В этот раз $x(t)$ найдено верно.

Пусть $x^*$ решение задачи (если оно вообще существует), т.е. то что нам нужно найти. Допустим, мы его уже нашли. Чтобы было проще дальше рассуждать, предположим, что $x^*$ - это точка минимума. Теперь считаем значение функционала в точке $x^*$ и получаем какое-то число $\int_0^1 \ddot{x}^*(t)\,dt$. Теперь берём какое-нибудь $C$, любое, и подставляем в найденное $x(t)$. Считаем значение функционала $\int_0^1 \ddot{x}(t)\,dt$. Как вы думаете, что будет меньше, а что больше: $\int_0^1 \ddot{x}^*(t)\,dt$ или $\int_0^1 \ddot{x}(t)\,dt$, и почему?

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551071 писал(а):

В этот раз $x(t)$ найдено верно.

Пусть $x^*$ решение задачи (если оно вообще существует), т.е. то что нам нужно найти. Допустим, мы его уже нашли. Чтобы было проще дальше рассуждать, предположим, что $x^*$ - это точка минимума. Теперь считаем значение функционала в точке $x^*$ и получаем какое-то число $\int_0^1 \ddot{x}^*(t)\,dt$. Теперь берём какое-нибудь $C$, любое, и подставляем в найденное $x(t)$. Считаем значение функционала $\int_0^1 \ddot{x}(t)\,dt$. Как вы думаете, что будет меньше, а что больше: $\int_0^1 \ddot{x}^*(t)\,dt$ или $\int_0^1 \ddot{x}(t)\,dt$, и почему?

Спасибо, попробую.

(Подробнее)

$x(t)=\dfrac{Ct^3}{6}+\dfrac{(2-C)t^2}{4}+\dfrac{C-6}{12}$

$\dot{x}(t)=\dfrac{Ct^2}{2}+\dfrac{(2-C)t}{2}$

$\ddot{x}(t)=Ct-\dfrac{C}{2}$

$$\displaystyle\int_0^1{\ddot x}^2\,dt=\displaystyle\int_0^1\Big(Ct-\dfrac{C}{2}\Big)^2\,dt=\displaystyle\int_0^1\Big(C^2t^2-{C}t+\dfrac{C^2}{4}\Big)\,dt=\dfrac{C^2t^3}{3}\Bigg|_0^1-\dfrac{Ct^2}{2}\Bigg|_0^1+\dfrac{C^2t}{4}\Bigg|_0^1=\dfrac{C}{3}-\dfrac{C}{2}+\dfrac{C^2}{4}$$

$F(C)=\displaystyle\int_0^1{\ddot x}^2\,dt=\dfrac{C}{3}-\dfrac{C}{2}+\dfrac{C^2}{4}$

Ну это $F(C)$ парабола, ветви ветви вверх. Значит она имеет точку минимума.

$F'(C)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{C}{2}=0$

Домножим обе части уравнения на $2$

$C+\dfrac{2}{3}-1=0$

$C=\dfrac{1}{3}$

$x(t)=\dfrac{Ct^3}{6}+\dfrac{(2-C)t^2}{4}+\dfrac{C-6}{12}=\dfrac{t^3}{18}+\dfrac{5t^2}{12}-\dfrac{17}{36}$

Верно?

[MaximVD]

Да, верно!
Только надо ещё показать, что $x(t)$ действительно точка минимума, а не просто экстремаль. Для этого можно, например, рассмотреть приращение функционала $\int_0^1 (\ddot{x}+\ddot{h})^2 dt - \int_0^1 \ddot{x}^2dt$, где $h$ произвольная функция такая, что $x + h$ удовлетворяет граничным условиям задачи, и попытаться доказать, что оно неотрицательно (или наоборот, меняет знак).