Найти экстремали функционалов

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551457 писал(а):

Хорошо, давайте делать так. Попробуем доказать, что приращение всё-таки неотрицательно (хотя это кажется странным на первый взгляд). Чтобы не запутаться, обозначим функцию, которую мы проверяем на минимум через $x^*$. Возьмём какую-нибудь функцию $y$, удовлетворяющую всем условиям в точках 0 и 1 и зафиксируем её. Где-то выше Вы находили функцию (решение уравнения Эйлера), зависящую от константы $C$. Обозначим её через $x_C(t)$. Берём и находим такое $C$, что $x_C(0) = y(0)$ (ясно, что такое $C$ всегда найдётся). Тут надо вспомнить, что $x_C$ вы тоже искали как решение экстремальной задачи. Теперь рассматриваем приращение

$$ \int_0^1 \ddot{y}^2 dt - \int_0^1 \ddot{x}_C^2 dt = \int_0^1 ((\ddot{y} - \ddot{x}_C) + \ddot{x}_C )^2 dt - \int_0^1 \ddot{x}_C^2 dt = \ldots $$

Продолжайте.

Спасибо.

Наверное, нужно какой-то из этих интегралов по частям.

$$ \int_0^1 \ddot{y}^2 dt - \int_0^1 \ddot{x}_C^2 dt = \int_0^1 ((\ddot{y} - \ddot{x}_C) + \ddot{x}_C )^2 dt - \int_0^1 \ddot{x}_C^2 dt = \int_0^1 (\ddot{y} - \ddot{x}_C)^2dt+2\int_0^1 (\ddot{y} - \ddot{x}_C)\ddot{x}_Cdt $$

[MaximVD]

freedom_of_heart в сообщении #551462 писал(а):

Наверное, нужно какой-то из этих интегралов по частям.

Да. Смелее!

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551463 писал(а):

freedom_of_heart в сообщении #551462 писал(а):

Наверное, нужно какой-то из этих интегралов по частям.

Да. Смелее!

$$\int_0^1 (\ddot{y} - \ddot{x}_C)\ddot{x}_Cdt=\int_0^1 (\ddot{y} - \ddot{x}_C)d(\dot{x}_C)=(\ddot{y} - \ddot{x}_C)\dot{x}_C\Bigg|_0^1-\int_0^1 (\dddot{y} - \dddot{x}_C)\dot{x}_Cdt$$

Но тут опять третья производная, значит что-то не то...

[MaximVD]

Попробуйте в другом порядке. В том смысле, что "внесите под дифференциал" другой множитель.

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551465 писал(а):

Попробуйте в другом порядке. В том смысле, что "внесите под дифференциал" другой множитель.

$$\int_0^1 (\ddot{y} - \ddot{x}_C)\ddot{x}_Cdt=\int_0^1 (\ddot{x}_C)d(\dot{y} - \dot{x}_C)=(\dot{y} - \dot{x}_C)\ddot{x}_C\Bigg|_0^1-\int_0^1 (\ddot{y} - \ddot{x}_C)\dot{x}_Cdt$$

[MaximVD]

Какой-то неправильный последний интеграл. Производные там не того порядка.
Вспомните чему равно $x_C$, а заодно выпишите значения $y$ и $x_C$ и их производных в точках 0 и 1 и воспользуйтесь этим.

[ewert]

Чтобы не путаться -- лучше не так обозначать, а $y(t)=x_C(t)+u(t)$, где $u(t)$ удовлетворяет нулевым граничным условиям (оно, кстати, и стандартнее). Тогда дело сразу же сводится к проверке того, что $\int\limits_0^1\ddot x_C\,\ddot u\,dt=0$. Ну это очевидно после перебрасывания всех производных с $u$ на $x_C$.

(и вообще это называется кубическим сплайном)

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551472 писал(а):

Какой-то неправильный последний интеграл. Производные там не того порядка.
Вспомните чему равно $x_C$, а заодно выпишите значения $y$ и $x_C$ и их производных в точках 0 и 1 и воспользуйтесь этим.

$$\int_0^1 (\ddot{y} - \ddot{x}_C)\ddot{x}_Cdt=\int_0^1 \ddot{x}_Cd(\dot{y} - \dot{x}_C)=\ddot{x}_C(\dot{y} - \dot{x}_C)\Bigg|_0^1-\int_0^1 (\ddot{y} - \ddot{x}_C)\ddot{x}_Cdt$$

$$\int_0^1 (\ddot{y} -\ddot{x}_C)\ddot{x}_Cdt=0,5\cdot \ddot{x}_C(\dot{y} - \dot{x}_C)\Bigg|_0^1$$

$\dot x_C(0)=\dot{y}(0)=0$

$\dot x_C(1)=\dot{y}(1)=1$

Тогда $\int_0^1 (\ddot{y} -\ddot{x}_C)\ddot{x}_Cdt=0$

Верно?

-- Пт мар 23, 2012 20:28:27 --

Это означает, что $y=x_C$ и что эта экстремаль единственно. Наверное сказала глупость.

-- Пт мар 23, 2012 20:29:30 --

ewert в сообщении #551473 писал(а):

Чтобы не путаться -- лучше не так обозначать, а $y(t)=x_C(t)+u(t)$, где $u(t)$ удовлетворяет нулевым граничным условиям (оно, кстати, и стандартнее). Тогда дело сразу же сводится к проверке того, что $\int\limits_0^1\ddot x_C\,\ddot u\,dt=0$. Ну это очевидно после перебрасывания всех производных с $u$ на $x_C$.

(и вообще это называется кубическим сплайном)

ой, я так не умею реактивно думать

[MaximVD]

freedom_of_heart в сообщении #551480 писал(а):

Верно?

Увы нет. Опять точек не хватает. Можете воспользоваться советом ewert и чтобы не путаться обозначить $y - x_C = u$.

[freedom_of_heart]

ewert в сообщении #551473 писал(а):

Чтобы не путаться -- лучше не так обозначать, а $y(t)=x_C(t)+u(t)$, где $u(t)$ удовлетворяет нулевым граничным условиям (оно, кстати, и стандартнее). Тогда дело сразу же сводится к проверке того, что $\int\limits_0^1\ddot x_C\,\ddot u\,dt=0$. Ну это очевидно после перебрасывания всех производных с $u$ на $x_C$.

(и вообще это называется кубическим сплайном)

MaximVD в сообщении #551482 писал(а):

Увы нет. Опять точек не хватает. Можете воспользоваться советом ewert и чтобы не путаться обозначить $y - x_C = u$.

$$\int\limits_0^1\ddot x_C\,\ddot u\,dt=\int\limits_0^1\ddot x_Cd(\dot u)=\ddot x_C\cdot \dot u\Bigg|_0^1-\int\limits_0^1\dot{u}d(\ddot x_C)=\ddot x_C\dot u\Bigg|_0^1-\int_0^1\dot{u}\cdot \dddot x_Cdt =\dot x_C\cdot \dot u\Bigg|_0^1-(\dddot x_C\cdot u\Bigg|_0^1-\int\limits_0^1u\cdot \ddddot x_C\,\,dt)=$$

Как-то некрасиво и почему-то вылезает !четвертая! производная!!

[MaximVD]

Всё правильно. Осталось вспомнить что такое $x_C$ и найти значения $u$ и её первой производной в точках 0 и 1.

[freedom_of_heart]

${{x}}_C(t)=\dfrac{t^3}{18}+\dfrac{5t^2}{12}-\dfrac{17}{36}$

${\dot{x}}_C(t)=\dfrac{t^2}{6}+\dfrac{5t}{6}$

${\ddot{x}}_C(t)=\dfrac{t}{3}+\dfrac{5}{6}$

${\dddot{x}}_C(t)=\dfrac{1}{3}$

${\ddddot{x}}_{C}(t)=0$

[MaximVD]

Вы выписали то $x_C$, на котором функционал достигает минимум по $C$, т.е. $x^*$ - мы пытаемся доказать, что это точка минимума. По $x_C$ я имел ввиду ту функцию, в которой вы $C$ ещё не нашли.

[freedom_of_heart]

MaximVD в сообщении #551508 писал(а):

Вы выписали то $x_C$, на котором функционал достигает минимум по $C$, т.е. $x^*$ - мы пытаемся доказать, что это точка минимума. По $x_C$ я имел ввиду ту функцию, в которой вы $C$ ещё не нашли.

Ок, поняла. Но тут четвертая производная все равно будет нулем...

$\dot u(1)=0$

А вот $u(0)$ не понятно чему равно. Ведь конец $x(0)$ не закреплен, значит $u(0)$ может принимать любые значения

[MaximVD]

Да, нулём. Теперь осталось найти чему равно $u(0)$, $u(1)$, $\dot{u}(0)$, $\dot{u}(1)$.

-- Пт мар 23, 2012 22:13:49 --

Про $u(0)$. Ведь $x_C$ не произвольное. $C$ подбирается таким образом, чтобы $x_C(0) = y(0)$.