Найти закон распределения с.в. (поток событий)

[Incognito]

Время между двумя сбоями Эвм имеет показательное распределение с параметром л. Решение некоторой задачи требует безотказной работы Эвм на протяжении времени t. Если за время t происходит сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой проявляется только через время t после начала решения задачи. Рассматривается случайная величина x - время за которое задача будет решена. Найти закон её распределения.

[незваный гость]

Найдите вероятность того, что задача будет решена за одну попытку. Вы получите новую дискретную случайную величну - задача решена за одну попытку, за две попытки, et cetera. Вычислите ее распределение.

[Incognito]

Так это и сходу ясно . Проблема в том чтобы как раз и найти эту вероятность

[незваный гость]

Например, найдите вероятность того, что задача не будет решена за время $t$, id est сбой за это время произойдет.

[Incognito]

вероятность того что задача не решена за время kt P{x=kt}=P{за промежуток времени 0 t - был сбой, t 2t - был сбой, .... (k-1)t - kt - был сбой}, но я не знаю распределение времени сбоев, знаю только распределение их разницы, это будет пуасоновский процесс, но пока не знаю что мне это даёт

[незваный гость]

Если я правильно понимаю ( я легко могу быть не прав), свойством экспоненциального распределения является отсутствие памяти в системе. То есть это не важно, когда произошел последний сбой - вероятность того, что сбой не произойдет за время $\tau$ $P\{t_{failure} > \tau \} = {\rm e}^{- \lambda \tau}$.

Посему сбоя не будет (успешный подсчет за один раз $p_1={\rm e}^{- \lambda t}$.

[PAV]

Одним из свойств показательного распределения является отсутствие последействия. Это означает, что распределение времени до первого сбоя не зависит от выбора момента начала наблюдения. Т.е. когда начинается очередная попытка решения задачи, то смело можно забыть все, что было до того, и считать, что это первая попытка.

Вообще замечу, что количество попыток, необходимых для решения, распределено по геометрическому закону. Надо исследовать одну попутку.

[Incognito]

Можно поподробнее о "попутке" и о геом. распределении

PAV писал(а):

Вообще замечу, что количество попыток, необходимых для решения, распределено по геометрическому закону. Надо исследовать одну попутку.

[PAV]

Incognito писал(а):

Можно поподробнее о "попутке"

Каждая попытка решить задачу занимает одно и то же время t и может быть успешной или неудачной. Можно вычислить вероятность p первого успеха, т.е. что первая же попытка будет удачной. В силу упомянутого свойства отсутствия последействия легко получить, что различные попытки независимы, а также что вероятность успеха p одинакова для всех попыток. Это означает, что мы имеем дело с серией испытаний Бернулли.

Таким образом, мы имеем серию независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p. Мы ждем появления первого успеха. Количество испытаний до первого успеха как раз и описывается геометрическим распределением. Легко выводится распределение количества попыток, среднее значение и т.д.

[Incognito]

Интересно, как найти эту вероятность р. Это вероятность что у нас за время t произойдёт сбой. Но мы знаем только вероятность времени между сбоями.

[PAV]

Такое же распределение, как между сбоями, имеет время с любого фиксированного момента до первого сбоя.

[Incognito]

Я уже понял, вероятность сбоя на промежутке времени решения задачи равняется 1-e^(-лt).
тогда вероятность того что мы решим задачу за время kt P=(1-e^(-лt))^(k-1)*e^(-лt)

[PAV]

Да, правильно.