2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 10 точек на плоскости
Сообщение21.03.2012, 20:25 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
На плоскости дано 10 точек, все расстояния между которыми попарно различны.
Для каждой точки пометим красным цветом ближайшую к ней точку.
Какое наименьшее число красных точек может получиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: 10 точек на плоскости
Сообщение21.03.2012, 21:34 
Аватара пользователя


24/12/11
186
4?

 Профиль  
                  
 
 Re: 10 точек на плоскости
Сообщение21.03.2012, 21:38 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
wallflower в сообщении #550941 писал(а):
4?

А почему, собственно?

-- 21.03.2012, 20:41 --

Почему, например, не две?

 Профиль  
                  
 
 Re: 10 точек на плоскости
Сообщение22.03.2012, 07:18 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Ответ: 3.

Изображение

На рисунке расстояние от любой точки до ближайшей красной меньше, чем до ближайшей синей.
Поэтому "малыми" движениями можно добиться того, чтобы расстояния оказались попарно различными, а множество красных точек не изменилось.

Доказательство того, что 2 красных точки получиться не может довольно громоздкое. Ограничусь основными шагами.
2 точки, расстояние между которыми минимально — красные.
Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, разбивает плоскость на 2 полуплоскости.
Если в одной из этих полуплоскостей оказалось (кроме уже выбранной красной точки) ещё 5 точек, то среди них можно выбрать 2, расстояние между которыми меньше, чем расстояние от одной из них до уже выбранной красной. Следовательно, найдётся ещё хотя бы одна красная точка.
Если в каждой из этих полуплоскостей оказалось (кроме уже выбранной красной точки) ещё по 4 точки, то расстояние между некоторыми "соседними" точками из разных полуплоскостей меньше, чем расстояние от одной из этих точек до ближайшей уже выбранной красной точки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group