10 точек на плоскости

[Ktina]

На плоскости дано 10 точек, все расстояния между которыми попарно различны.
Для каждой точки пометим красным цветом ближайшую к ней точку.
Какое наименьшее число красных точек может получиться?

[wallflower]

4?

[Ktina]

wallflower в сообщении #550941 писал(а):

4?

А почему, собственно?

-- 21.03.2012, 20:41 --

Почему, например, не две?

[hippie]

Ответ: 3.



На рисунке расстояние от любой точки до ближайшей красной меньше, чем до ближайшей синей.
Поэтому "малыми" движениями можно добиться того, чтобы расстояния оказались попарно различными, а множество красных точек не изменилось.

Доказательство того, что 2 красных точки получиться не может довольно громоздкое. Ограничусь основными шагами.
2 точки, расстояние между которыми минимально — красные.
Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, разбивает плоскость на 2 полуплоскости.
Если в одной из этих полуплоскостей оказалось (кроме уже выбранной красной точки) ещё 5 точек, то среди них можно выбрать 2, расстояние между которыми меньше, чем расстояние от одной из них до уже выбранной красной. Следовательно, найдётся ещё хотя бы одна красная точка.
Если в каждой из этих полуплоскостей оказалось (кроме уже выбранной красной точки) ещё по 4 точки, то расстояние между некоторыми "соседними" точками из разных полуплоскостей меньше, чем расстояние от одной из этих точек до ближайшей уже выбранной красной точки.