Что значит «линейное»?

[folex]

Доброго времени суток.
Какой смысл кроется в слове «линейное» в термине «линейное пространство»?

Спасибо за ответы.

[Toucan]

Переехали в учебный раздел.

[folex]

Я считаю это больше философским вопросом, нежели чем-то вроде нерешенной мною задачи.
Я знаю, что такое линейное пространство, меня интересует лишь "этимология" этого термина.

Впрочем, вам, видимо, лучше знать.

[ИСН]

Этимология такая же, что и у линейных функций. Есть чёрный ящик. Умножаем вход на два. Если выход тоже умножился на два, вешаем табличку "линейный". А если он вместо этого ударился оземь и обернулся серым волком, то нет.

[longstreet]

на любой коэффициент вроде

[folex]

longstreet в сообщении #550568 писал(а):

на любой коэффициент вроде

Нет, если следовать именно логике "как в линейных функциях", то именно на два.

Видимо, это всё про дистрибутивность. Ведь это единственное проявление линейности операций относительно друг-друга, так сказать.

[ewert]

folex в сообщении #550552 писал(а):

Какой смысл кроется в слове «линейное» в термине «линейное пространство»?

Такой, что в этом пространстве определены лишь операции, которые принято называть "линейными" -- сложение и умножение на число. И более ничего, ну решительно ничегошеньки не определено. А почему те операции принято называть именно так -- догадайтесь сами.

[longstreet]

Из того что сказал ewert, следует что на любой. Или всё-таки я сам неправ?

[folex]

longstreet в сообщении #550582 писал(а):

Из того что сказал ewert, следует что на любой. Или всё-таки я сам неправ?

Если вы имеете ввиду утверждение "после умножение входа на два, выход умножается на любой коэффициент", то оно не истинно в случае пространства, с "естественным" умножением, но его можно назвать истинным, если мы введем операцию умножения на $L(P)$ как
$x \cdot y := x \cdot y \cdot c$, where $c \in P $ случайный объект.

-- Ср мар 21, 2012 01:25:29 --

ewert в сообщении #550578 писал(а):

folex в сообщении #550552 писал(а):

Какой смысл кроется в слове «линейное» в термине «линейное пространство»?

Такой, что в этом пространстве определены лишь операции, которые принято называть "линейными" -- сложение и умножение на число. И более ничего, ну решительно ничегошеньки не определено. А почему те операции принято называть именно так -- догадайтесь сами.

Ну, вот моя проблема была в том, что я чего-то сразу не подумал, что дистрибутивность — это и есть линейность.

[longstreet]

а, нет, всё понял

[Dan B-Yallay]

folex в сообщении #550584 писал(а):

Если вы имеете ввиду утверждение "после умножение входа на два, выход умножается на любой коэффициент"

Я так понял, что имелось в виду
после умножение входа на любой коэффициент $k$, выход тоже умножается на $k$.

[ewert]

folex в сообщении #550584 писал(а):

дистрибутивность — это и есть линейность.

Дистрибутивность -- не есть линейность. Это лишь некое свойство одной операции относительно другой. А там ещё много, много других свойств.

[longstreet]

Dan B-Yallay, именно это. Во всяком случае я тоже так понял, после того как подумал.

[Munin]

Исторически, как я понимаю, линейным принято называть всё, что ведёт себя как прямая линия, или плоскость. Иногда проходящие через начало координат, иногда нет. А нелинейным (когда такое подразумевается) - то, что отклоняется от прямой линии или плоскости вверх или вниз. А строгих правил употребления этого слова не сложилось. В одних местах линейность подразумевает один набор аксиом, в других - другой.

[folex]

ewert в сообщении #550593 писал(а):

folex в сообщении #550584 писал(а):

дистрибутивность — это и есть линейность.

Дистрибутивность -- не есть линейность. Это лишь некое свойство одной операции относительно другой. А там ещё много, много других свойств.

Я понимаю, что не есть. Но она индуцирует линейность. Не получится ввести линейную недистрибутивную операцию же.

-- Ср мар 21, 2012 01:47:32 --

longstreet в сообщении #550595 писал(а):

Dan B-Yallay, именно это. Во всяком случае я тоже так понял, после того как подумал.

Ну понятное, дело, что это работает не только для двойки, huh.

-- Ср мар 21, 2012 01:48:22 --

Munin в сообщении #550602 писал(а):

Исторически, как я понимаю, линейным принято называть всё, что ведёт себя как прямая линия, или плоскость. Иногда проходящие через начало координат, иногда нет. А нелинейным (когда такое подразумевается) - то, что отклоняется от прямой линии или плоскости вверх или вниз. А строгих правил употребления этого слова не сложилось. В одних местах линейность подразумевает один набор аксиом, в других - другой.

Это схоже с употреблением слова "нормальное".