Полный разбор парадокса Рассела

[epros]

Nikita Anatolevich в сообщении #549823 писал(а):

Не менять, а подправить, чтобы решить поставленную задачу.

А не надо ничего подправлять. Множество Рассела определено корректной формулой языка теории множеств. Вопрос только в том, существует оно или нет согласно той или иной аксиоматике теории множеств.

Вы понимаете, что Рассел был совсем не дурак, и что он намеренно придумал такое определение, которое демонстрирует противоречивость т.н. "наивной" аксиоматики (Фреге)? А Вы это определение теперь хотите "подправить", чтобы сделать вид, что никакого противоречия якобы и не было ...

Может быть Вы в курсе, что есть ещё одна интерперетация этого парадокса - т.н. "парадокс библиотеки": Каждая книга библиотеки может содержать ссылки на другие книги библиотеки, в том числе - может содержать или не содержать ссылку на саму себя. Существует ли каталог всех книг библиотеки, не содержащих ссылок на себя? Правильный ответ таков: Такой каталог может существовать, но он не может быть книгой библиотеки. Сравните с парадоксом Рассела.

Nikita Anatolevich в сообщении #549823 писал(а):

Нумерация, то есть присвоение номера множеству есть действие произвольное. И если, как Вы говорите, , НЕ ВСЕ множества натуральных чисел оказываются пронумерован-ными, то возникает вопрос: а что же мне мешает множеству К дать номер?

Ничто не мешает. Но когда Вы определите какую-нибудь конкретную процедуру нумерации множеств натуральных чисел, она обязательно какие-нибудь множества пропустит.

Nikita Anatolevich в сообщении #549823 писал(а):

Из всех контрпримеров самый ядовитый – это контрпример, порождающий главный парадокс теории множеств. http://infinyland.blogspot.com/2012/03/ ... st_18.html

Присоединяюсь к вопросу Joker_vD: Что это за "условие принадлежности" о котором там идёт речь?

[Nikita Anatolevich]

1. Вопрос не только в том, существует оно или нет . . . Вопрос в следующем: можно ли искусственно построенные противоречия предъявлять в доказательствах от противного?. Реально это делается иногда, и возникают ложные теоремы. Если Вы согласны, что нельзя, то можно разговор продолжить.

А искусственно построенное противоречие ровно ничего не доказывает. И Рассел же показал, что оно получается не только в теории множеств, а почти при всяком бинарном отношении.

2. Не хотите, не подправляйте, дело хозяйское. Но не вздумайте предъявлять искусственно построенное противоречие в качестве доказательства чего-то.

3. «Условие принадлежности», иначе говоря, критерий принадлежности – это тот критерий, по которому можно определить, входит ли данный элемент в данное множество. У каждого конкретного множества есть критерий принадлежности. Множество без критерия принадлежности считаю понятием почти бессмысленным, ущербным, хотя, возможно, я не совсем прав.

4. Насчет парадокса библиотеки – это большое семейство диагональных парадоксов общеизвестно.

5. В Вашем утверждении: « Когда Вы определите какую-нибудь конкретную процедуру нумерации множеств натуральных чисел, она обязательно какие-нибудь множества пропустите.» - Вы, по-видимому, имеете в виду множество внешних номеров К. Да, если его заранее не предусмотреть, то оно появится неожиданно для Вас. Но я-то о нем знаю заранее и сразу же даю ему номер 1. Тогда возникнет противоречие: невозможно будет определить, входит ли № 1 в множество К. Но это проблема того, кто это множество придумал. Вот здесь-то и придется: либо оставить К недоопределенным, либо как-то его определение подправить. В чем проблема?

А проблема в том, что это противоречие, построенное искусственно путем такого определения множества К (противоречивого), как «множество внешних номеров» без оговорки «кроме самого себя», выдается за доказательство для легковерных читателей. На этом и держится «доказательство» теоремы Кантора.

Знакомая картина: сначала придумаем противоречивое определение (противоречие возникает независимо от утверждения теоремы Кантора), а потом предъявим его в подходящий момент. Вот и докажем теорему.

Кантор начал эту практику первым, а за ним уже многие пошли тем же путем. И наука пошла вперед . . .

[Someone]

Nikita Anatolevich в сообщении #550496 писал(а):

Знакомая картина: сначала придумаем противоречивое определение (противоречие возникает независимо от утверждения теоремы Кантора), а потом предъявим его в подходящий момент. Вот и докажем теорему.

Кантор начал эту практику первым,

Нагло врёте. Во-первых, Кантор доказывал несчётность множества действительных чисел не диагональным методом. Диагональный метод он придумал позже. В-вторых, никакого "искусственного" или "естественного" противоречия он в этом доказательстве не использовал, это доказательство не является доказательством от противного. В-третьих, диагональный метод тоже не требует построения каких-либо противоречий.

Если будете утверждать, что не врёте - приведите точные цитаты из работ Кантора. Они изданы на русском языке. У меня сборник работ Кантора есть, и я знаю, о чём говорю.

[epros]

Nikita Anatolevich в сообщении #550496 писал(а):

можно ли искусственно построенные противоречия предъявлять в доказательствах от противного?

Противоречия не бывают "искусственно" или "не искусственно" построенными. Противоречие - это когда в какой-либо теории доказано и некое утверждение, и его отрицание. Иногда употребляют словосочетание "противоречивое определение" (хотя я бы такие определения скорее назвал "ничтожными"), но на самом деле это всего лишь определение заведомо несуществующего объекта (типа "дробное натуральное число"). В определении заведомо несуществующего объекта нет никакого криминала (раз язык позволяет, то какие проблемы?), нужно всего лишь понимать, что утверждать его существование - неправомерно.

Доказательство же от противного - это и есть способ доказательства путём сведения предположения о неверности утверждения к противоречию. Что в этом такого "искусственно построенного"? Похоже, что с логикой у Вас совсем плохо.

Nikita Anatolevich в сообщении #550496 писал(а):

«Условие принадлежности», иначе говоря, критерий принадлежности – это тот критерий, по которому можно определить, входит ли данный элемент в данное множество. У каждого конкретного множества есть критерий принадлежности. Множество без критерия принадлежности считаю понятием почти бессмысленным, ущербным, хотя, возможно, я не совсем прав.

Это что ли формула языка, определяющая свойство? Т.е. то, что в соответствии со схемой аксиом выделения (см. аксиоматику Цемерло-Френкеля) определяет подмножество? Например, свойство "является чётным" определяет подмножество натуральных чисел.

Nikita Anatolevich в сообщении #550496 писал(а):

В Вашем утверждении: « Когда Вы определите какую-нибудь конкретную процедуру нумерации множеств натуральных чисел, она обязательно какие-нибудь множества пропустите.» - Вы, по-видимому, имеете в виду множество внешних номеров К.

И не только. Для каждой процедуры нумерации найдётся КУЧА множеств, которые не пронумерованы.

Nikita Anatolevich в сообщении #550496 писал(а):

Но я-то о нем знаю заранее и сразу же даю ему номер 1.

Нельзя знать о нём "заранее". Чтобы узнать, какие множества на этот раз не пронумерованы, нужно сначала определить процедуру нумерации. "Давая ему номер 1", Вы начинаете определять другую процедуру нумерации. Что ж, она не пронумерует какие-то другие множества. Ёлы-палы, это всё-таки какой-то детский сад...

Nikita Anatolevich в сообщении #550496 писал(а):

А проблема в том, что это противоречие, построенное искусственно путем такого определения множества К (противоречивого), как «множество внешних номеров» без оговорки «кроме самого себя», выдается за доказательство для легковерных читателей. На этом и держится «доказательство» теоремы Кантора.

Ещё раз: В определении множества "внешних номеров" нет ничего противоречивого: Для любой конкретной процедуры нумерации это будет вполне конкретно определённое множество. Например:

1: {}
2: {1}
3: {1, 2}
4: {1, 2, 3}
и т.д.

Посмотрев на эту нумерацию, видим, что все номера являются "внешними". Это значит, что "множество внешних номеров" равно множеству всех натуральных чисел. У множества всех натуральных чисел есть номер? Нет. Это единственное непронумерованное множество? Нет, множество чётных чисел тоже не имеет номера. Множество {2, 3} - тоже не имеет номера. И таких ПОЛНО.

Кстати, возвращаясь к парадоксу Рассела: Рассел придумал своё определение "множества всех ординарных множеств" исключительно для одной вещи: чтобы продемонстрировать противоречивость аксиоматики Фреге. Вы хоть знаете что это за аксиоматика? Если нет, тогда о чём все эти писания?

[Joker_vD]

Nikita Anatolevich
Итак, вернемся к вашему последнему "доказательству". Вы утверждаете, что множество $\mathcal C$ всех подмножеств множества $\mathbb N$, имеющих УП, "очевидно счетно". Мне это не очевидно. Наоборот, предъявленный вами способ нумерации очевидным образом не нумерует "множество четных натуральных чисел". Более того, "диагональное" множество с УП "$n$ принадлежит этому множеству тогда и только тогда, когда $n$ не принадлежит $n$-му множеству из $\mathcal C$" явно принадлежит $\mathcal C$, но совершенно точно не может иметь номера.

[internector]

Уважаемые математики! Предупреждаю: я - филолог. Честно предупреждаю. Но я отслеживаю тему "парадокс Рассела" и поэтому попал на вашу площадку. Прошу ответить на вопрос: действительно ли этот парадокс разрешён, как меня уверял один оппонент, или споры всё ещё ведутся? И второй вопрос. Что вы скажете по поводу такой формулировки (деонтологического парадокса):

Все законы долженствования имеют исключения. Исключением из данного деонтического закона является он сам, поскольку не имеет исключений.

Это моя формулировка, я его открыл. Мне кажется, я сделал открытие на стыке логики и этики. А вы как думаете?

[Nikita Anatolevich]

Уважаемый г-н Someone! 22.03.2012

Я рад проявленному Вами неравнодушию к проблеме знаменитой теоремы Кантора. К сожалению, в сборнике работ Кантора «Труды по теории множеств», который Вы, по-видимому, имеете в виду, этой самой знаменитой теоремы я не нашел. Доказательство этой теоремы самим Кантором я знаю по учебнику Александрова П.С., «Введение в общую теорию множеств и функций». Москва, Ленинград. Гостехиздат. 1948. Это доказательство сводится к общепринятому, приводимому во всех учебниках, оно же приводится и в википедии. Оно-то и вызывает мое раздражение. Я приношу свои извинения за мое неуважительное по отношению к Кантору высказывание, которое можно понять как обвинение в недобросовестности. Такого обвинения я не хотел, но выразился неосторожно.

Уважаемый г-н Someone, не откажете ли в любезности высказаться по поводу следующих соображений о теореме Кантора.

Есть общее понятие множества. Его можно определить через другие общие понятия, как это делает Кантор.

Но есть и понятие конкретного множества. Его обязательный атрибут – конкретный критерий принадлежности (КП), которым определяется вхождение объекта в данное множество в качестве элемента. Всевозможные теоремы о множествах могут говорить только о конкретных множествах, хотя и с разной степенью общности. Это теоремы о точечных множествах, открытых, замкнутых. числовых, и т. п. множествах.

При таком вполне четком, жестком понимании термина «множество» множество без КП считается бессмысленным понятием, и для теоремы Кантора места не остается. Потому что КП для любого множества может быть выражен конечным числом слов, и множество всех подмножеств любого множества оказывается счетным. Теореме Кантора противоречит понятие конкретного множества. Множество конкретных подмножеств у любого конкретного множества не может быть несчетным.

Nikita Anatolevich

[Joker_vD]

Nikita Anatolevich в сообщении #551236 писал(а):

Множество конкретных подмножеств у любого конкретного множества не может быть несчетным.

Неправда. Берем конкретное множество $\mathbb N$. Берем множество всех его конкретных подмножеств. Вы говорите, что оно счетно, т.е. можно говорить о первом конкретном подмножестве, втором, и так далее, причем ЛЮБОЕ конкретное подмножество какой-нибудь номер да имеет. Хорошо.

Задаем множество $A$ следующим условием: "$x$ принадлежит $A$ в том и только том случае, если $x$ — натуральное число, и $x$-тое конкретное подмножество множества $\mathbb N$ не содержит $x$". Конкретно ли множество $A$? Конкретно. Является ли оно подмножеством множества $\mathbb N$? Да, является. Какой же у него номер?

-- Чт мар 22, 2012 23:18:36 --

Nikita Anatolevich в сообщении #551236 писал(а):

Потому что КП для любого множества может быть выражен конечным числом слов

Вы сейчас ступаете на очень скользкую дорожку с псевдоописаниями. "Наименьшее по мощности множество, которое невозможно описать менее чем в тринадцати словах".

[Someone]

Nikita Anatolevich в сообщении #551236 писал(а):

К сожалению, в сборнике работ Кантора «Труды по теории множеств», который Вы, по-видимому, имеете в виду, этой самой знаменитой теоремы я не нашел.

Плохо искали. Посмотрите вот здесь: http://dxdy.ru/post414177.html#p414177. Рекомендую также проштудировать сообщение http://dxdy.ru/post413407.html#p413407, чтобы точно понимать, о чём идёт речь.

Nikita Anatolevich в сообщении #551236 писал(а):

Я приношу свои извинения за мое неуважительное по отношению к Кантору высказывание, которое можно понять как обвинение в недобросовестности. Такого обвинения я не хотел, но выразился неосторожно.

В недобросовестности нужно обвинять не Кантора, а Вас. Вы, не зная толком предмета, фактически заявляете, что все математики за последние сто с лишком лет - явные идиоты, потому что не могут разобраться в совершенно элементарном рассуждении.

Nikita Anatolevich в сообщении #551236 писал(а):

Доказательство этой теоремы самим Кантором я знаю по учебнику Александрова П.С., «Введение в общую теорию множеств и функций». Москва, Ленинград. Гостехиздат. 1948.

Теорема 14 в § 6 главы I? Ну, это не цитата из Кантора, а пересказ. Хотя достаточно точный (У Кантора это рассуждение можно найти в работе, которая в указанном сборнике имеет номер 9). Это Вы на основании этого доказательства заявляете, что используется доказательство "от противного"? Ну да, там есть абзац

П. С. Александров писал(а):

Предположим, что такое соответствие существует, и обозначим через $f^{\xi}$ тот элемент множества $Y^X$, который в силу этого соответствия отвечает элементу $\xi$ множества $X$. Искомое противоречие мы получим, если найдём элемент $f$ множества $Y^X$, отличающийся от всех $f^{\xi}$.

Означает ли это, что тут имеется доказательство от противного?

Надо разобраться, что это такое - доказательство от противного. Оно имеет следующую структуру.
1) Делается предположение, которое является отрицанием того, которое мы хотим доказать.
2) С использованием этого предположения доказывается утверждение, противоречащее сделанному предположению.
3) На основании полученного противоречия делается вывод, что предположение, сделанное в пункте 1), неверно, то есть, верно то утверждение, которое мы хотели доказать.
С точки зрения математической логики, здесь используется тавтология $(A\Rightarrow\neg A)\Rightarrow\neg A$.

В том доказательстве, которое излагает П.С.Александров, пункт 1) присутствует. Однако сделанное предположение в пункте 2) вообще никак не используется. Процитированный выше абзац можно было бы заменить таким текстом:
"Предположим, что задано любое отображение $X\to Y^X$ (не обязательно на всё множество $Y^X$). Обозначим через $f^{\xi}$ тот элемент множества $Y^X$, который в силу этого отображения соответствует элементу $\xi$ множества $X$. Найдём элемент $f$ множества $Y^X$, отличающийся от всех $f^{\xi}$."
Дальнейшее доказательство при этом совершенно не изменяется. Завершающее доказательство того, что $f\neq f^{\xi}$, тоже не требует никаких ложных предположений: $f\neq f^{\xi}$, так как по построению $f(\xi)\neq f^{\xi}(\xi)$.
Таким образом, пункт 1) для доказательства совершенно не нужен, и никакого доказательства "от противного" здесь нет.

Nikita Anatolevich в сообщении #551236 писал(а):

Есть общее понятие множества. Его можно определить через другие общие понятия, как это делает Кантор.

Понятие множества в современной математике является неопределяемым. Если быть совсем точным, оно "определяется" списком аксиом теории множеств. И Кантор нам здесь не указ. Описание множества как совокупности каких-то объектов - это некоторая интерпретация, совершенно не обязательная. Вы сами, говоря о "конкретных" множествах (на самом деле они называются определимыми), затрагиваете другую интерпретацию, в которой множествами являются (некоторые) формулы языка теории множеств. Доказательства теорем теории множеств не зависят от того, какая именно интерпретация имеется в виду.

Nikita Anatolevich в сообщении #551236 писал(а):

Всевозможные теоремы о множествах могут говорить только о конкретных множествах, хотя и с разной степенью общности. Это теоремы о точечных множествах, открытых, замкнутых. числовых, и т. п. множествах.

В Вашей интерпретации "конкретного" множества получается бессмыслица. Кроме того, Вы пошли по очень опасному пути. Дело в том, что формулы теории множеств не являются объектами теории множеств, и внутри мира этой теории недоступны. Эти формулы являются объектами метаязыка - языка, который должен существовать до того, как мы сможем определить язык теории множеств. И Вы начинаете смешивать два мира - внутренний мир теории множеств и внешний по отношению к ней мир метаязыка. Множество, счётное с точки зрения метаязыка, не обязано быть счётным с точки зрения внутреннего мира теории множеств, что Вам уже продемонстрировал Joker_vD. Отождествляя же два разных понятия счётности (внутреннее и внешнее), Вы получаете противоречие.

Nikita Anatolevich в сообщении #551236 писал(а):

Всевозможные теоремы о множествах могут говорить только о конкретных множествах, хотя и с разной степенью общности.

Теоремы теории множеств говорят нам о любых множествах, удовлетворяющих условию теоремы, просто потому, что этот Ваш "КП" никаким способом в доказательстве теорем не используется, и вообще, как правило, неизвестно, есть ли он у множества, о котором мы говорим. Изнутри теории множеств об этом узнать нельзя. Апелляция к метаязыку не помогает: в нём самом могут быть множества, не имеющие "КП". Хотя бы потому, что решение этого вопроса требует формализации метаязыка, для чего нужен мета-метаязык, и так далее до бесконечности.

Nikita Anatolevich в сообщении #551236 писал(а):

Теореме Кантора противоречит понятие конкретного множества. Множество конкретных подмножеств у любого конкретного множества не может быть несчетным.

Ещё раз повторяю: Вы просто путаете два разных понятия несчётности. И это, разумеется, немедленно приводит к противоречию.

internector в сообщении #551171 писал(а):

Предупреждаю: я - филолог. Честно предупреждаю. Но я отслеживаю тему "парадокс Рассела" и поэтому попал на вашу площадку. Прошу ответить на вопрос: действительно ли этот парадокс разрешён, как меня уверял один оппонент, или споры всё ещё ведутся?

Математики уже очень давно не видят тут предмета для споров. В современных математических теориях множеств парадокса Рассела нет, как нет и других известных парадоксов. Поэтому спорят филологи, философы и другие, не разбирающиеся в предмете, но желающие поучить математиков.

[Nikita Anatolevich]

Уважаемый г-н Someone! 23.03.2012

Благодарю за быстрые ответы. У меня, к сожалению, нет возможности отвечать Вам так же быстро. Ваши ответы на мои вопросы наиболее квалифицированны из тех, что мне приходилось получать. Но это не значит, что они меня устраивают.

Моя цель в нашем споре состоит в том, чтобы разобраться в неясных для меня вопросах, по возможности прийти с оппонентом к единому мнению, а при невозможности этого достигнуть четко сформулировать свои позиции и разногласия. Как говорится, в споре рождается истина. Более конкретно, моя цель состоит в том, чтобы понять, можно ли обосновать построение наивной теории множеств, исходя только из интуитивного канторовского понятия множества, выраженного в его определении множества, и принципа объемности.

Ваш позиция в вопросах теории множеств – это не наивная канторовская теория множеств, а, как Вы пишете, современная математика. Я вижу это по Вашим высказываниям: «И Кантор нам здесь не указ», «Вы просто путаете два разных понятия несчётности», «Описание множества как совокупности каких-то объектов – это некоторая интерпретация, совершенно не обязательная». Ваш ответ на указываемый мною главный парадокс теории множеств – со ссылкой на метаязык я предвидел.

Поэтому мой первый вопрос-просьба к Вам: не могли бы Вы временно, для облегчения взаимопонимания, побыть на позиции наивной теории? Или Вы считаете ее не заслуживающей внимания? Если нет, то я приступаю к формулировке наших разногласий, вернее, Ваших разногласий с наивной теорией множеств, как я ее понимаю.

Разногласие №1.

Позиция г-на Someone: Описание множества как совокупности каких-то объектов – это некоторая интерпретация, совершенно не обязательная.

Позиция наивной теории (с постоянной оговоркой «как я ее понимаю»).

Гениальный (я не шучу) основатель теории множеств Георг Кантор (1845 – 1918) дал свое знаменитое определение понятия множества. Вот оно.

«Под “множеством” мы понимаем объединение в некое целое М определенных хорошо различаемых предметов m нашего созерцания или мышления (которые будут называться "элементами" множества M)».

После того, как сформулирована аксиоматика теории множеств (есть у нас и такая) оказывается, что возможны и другие интерпретации теории. В этом случае канторовское понятие множества будем называть главной интерпретацией.

Правильно ли я сформулировал наше первое разногласие? Замечания принимаются.

Разногласие №2.

«Вы просто путаете два разных понятия несчётности»,

Позиция наивной теории состоит в том, что она, эта теория, отражает реальность, хотя бы и в наших головах. И есть единое понятие несчетности. А если Вы считаете, что есть два понятия несчетности, то не можете ли Вы дать определения этих двух понятий? И в чем между ними разница?

Еще разногласие: я продолжаю настаивать, что теореме Кантора (в наивной теории) противоречит понятие конкретного, по-Вашему – определимого – множес-тва. Множество определимых подмножеств у любого конкретного множества не может быть несчетным.

Еще разногласие: Вы пишете:«Дело в том, что формулы теории множеств не являются объектами теории множеств, и внутри мира этой теории недоступны.»

А Ю.И.Манин в своей книжке пишет, что в современной математической логике есть два формальных языка: язык арифметики и язык теории множеств. И последний отнюдь не есть метаязык, как Вы пишете, а тот самый язык, на котором доказываются теоремы теории множеств.

Еще один вопрос к Вам. Вы пишете: «Описание множества как совокупности каких-то объектов – это некоторая интерпретация, совершенно не обязательная».

Но хоть какая-то интерпретация все-таки нужна? Иначе как Вы будете проверять, удовлетворяются ли принятые в данной теории аксиомы?

Дорогой г-н Someone, как видите, разногласий довольно много. Я боюсь утомить Вас дальнейшим их перечислением. Давайте сначала решим главный вопрос: можете ли Вы временно стать на позицию наивной теории множеств? И если нет (это было бы жаль), то дайте Вашу формулировку наших с Вами первых двух разногласий. Или согласитесь с моей?

Искренне Ваш Nikita Anatolevich.

-- 26.03.2012, 21:55 --

Уважаемый г-н Epros, 23.03.2012

отвечаю на Ваши вопросы.

1. По Вашему ответу на мой вопрос: «можно ли искусственно построенные противоречия предъявлять в доказательствах от противного?» перехожу на Вашу терминологию и повторяю свой вопрос:

можно ли ничтожные определения предъявлять в доказательствах от противного?
2. Мой термин «условие принадлежности», а лучше, критерий принадлежности Вы поняли правильно.

3. Вы пишете: «Когда Вы определите какую-нибудь конкретную процедуру нумерации множеств натуральных чисел, она обязательно какие-нибудь множества пропустит.» И когда я спросил, не множество ли это внешних номеров? Вы ответили: «И не только.» А что еще?

Вы можете это Ваше утверждение доказать? По-моему, это утверждение и есть знаменитая теорема Кантора для натурального ряда. Вопрос к Вам: можете ли Вы доказать теорему Кантора не так, как в википедии и во всех учебниках? Если да, то я весь внимание.

4. Вы цитируете мой ответ и комментируете:

«Но я-то о нем знаю заранее и сразу же даю ему номер 1. Нельзя знать о нём "заранее". Чтобы узнать, какие множества на этот раз не пронумерованы, нужно сначала определить процедуру нумерации. "Давая ему номер 1", Вы начинаете определять другую процедуру нумерации. Что ж, она не пронумерует какие-то другие множества.»

Отвечаю: Никакой другой процедуры нумерации у меня нет. У меня одна процедура: сначала я даю №1 еще не построенному множеству внешних номеров, назовем его К, которое получится после окончания процедуры, а затем нумерую остальные множества натуральных чисел, как-то, не важно, как.

Можно (и нужно) отметить, что определение множества К при такой процедуре нумерации получилось неявным. Оно определено через свой номер, то есть в конечном счете через самого себя. И притом противоречивым образом (с помощью отрицания вхождения).

Но заметьте, что уже после первого шага, пока я еще не начал нумерацию остальных множеств, уже получилось противоречие. Чтобы его увидеть, достаточно спросить, входит ли число 1 в множество К. Для ответа на этот вопрос нужно знать, является ли число 1 внешним номером, то есть входит ли число 1 в К. Круг замкнулся. И методом попыток ответ тоже не удается получить. Правильный ответ на этот парадокс состоит в том, что определение множества К в том случае, когда у него есть номер, ничтожно.

Вы противоречие видите? А если Вы будете говорить, что все это говорит только о том, что не может быть номера у К, то я напомню, что нумерация есть действие произвольное, так же как определение функций или множеств. И если при моем определении номера для множества К (имею право) множество К становится ничтожным, то это проблема того, кто это множество придумал (может быть Хаусдорф?). Напрашивается вопрос: а зачем это ему? И напрашивается ответ: чтобы теорему Кантора доказать по-короче и по-эффектнее.

Вот это условно-ничтожное определение я и называю искусственно построенным противоречием. Но мне Ваша терминология даже больше нравится. Но очень важно то, что определение «множество внешних номеров» является ничтожным не всегда, а только если у него есть (ему присвоен) номер. Если Вы это поймете, то дальше мы общий язык найдем.

5. И опять Вы пишете: «Ещё раз: В определении множества "внешних номеров" нет ничего противоречивого: Для любой конкретной процедуры нумерации это будет вполне конкретно определённое множество.»

А я добавлю: но только до тех пор, пока Вы не захотите дать ему номер.

Получается сказка про белого бычка. Если Вы настаиваете на своем, то давайте формулировать протокол разногласий. Начинаю.

Моя позиция: какому угодно множеству, какой хочу, такой номер и присвою. А если при этом получается какое-то противоречие, то это не моя забота, потому что это множество с условно-ничтожным определением придумал не я.

Позиция Eprosa: произвол при нумерации недопустим. Потому что иначе получаются противоречия.

Мой вопрос: а Расселу придумать ничтожное определение множества Рассела можно было – в порядке исключения? На этом можно и разойтись.

6. А дальше Вы приводите конкретный пример, который демонстрирует, что да, бывают неполные нумерации. Но с этим никто и не спорит.

По поводу Рассела. Я считал до сих пор, что Рассел не придумал свой парадокс, чтобы кому-то что-то доказать, а наткнулся на него при попытке разобраться а парадоксе Кантора. И только потом сообщил о нем Фреге.

Дело в том, что теореме Кантора противоречит множество, известное как универсум фон-Неймана V. Оно содержит в себе все свои подмножества и совпадает с множеством всех своих подмножеств. Для него тривиальное отображение F(x)=x и дает биекцию между множеством V и множеством всех его подмножеств U(V), биекцию, которая запрещена теоремой Кантора. И множество внешних прообразов оказывается тем множеством, которое мы называем множеством Рассела.

Nikita Anatolevich.

[Someone]

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Но это не значит, что они меня устраивают.

Меня не интересует, устраивают ли Вас мои ответы. Я пытаюсь объяснить Вам, как обстоит дело на самом деле. Ситуация примерно такая: Вам объясняют, что яблоко, оторвавшееся от ветки, падает, а не остаётся висеть в воздухе, а Вы заявляете, что это объяснение Вас не устраивает.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Моя цель в нашем споре

Я с Вами не спорю. Предмета для спора в математических утверждениях нет: утверждение либо доказуемо, либо не доказуемо. Будете продолжать писать глупости - останетесь без собеседника. Да и тему отправят в Пургаторий.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Поэтому мой первый вопрос-просьба к Вам: не могли бы Вы временно, для облегчения взаимопонимания, побыть на позиции наивной теории?

Нет. У меня нет времени заниматься ерундой для Вашего ублажения. "Наивная теория множеств" - это неаксиоматизируемая теория. Ввиду того, что она никакими аксиомами не ограничена, обосновать её нельзя.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Гениальный (я не шучу) основатель теории множеств Георг Кантор (1845 – 1918) дал свое знаменитое определение понятия множества. Вот оно.

«Под “множеством” мы понимаем объединение в некое целое М определенных хорошо различаемых предметов m нашего созерцания или мышления (которые будут называться "элементами" множества M)».

Это не определение, а ничего не значащее сотрясение воздуха.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

В этом случае канторовское понятие множества будем называть главной интерпретацией.

Канторовское "понятие" множества не является интерпретацией аксиоматической теории множеств ввиду совершенно неопределённого круга "множеств" в "смысле" Кантора.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Позиция наивной теории состоит в том, что она, эта теория, отражает реальность, хотя бы и в наших головах. И есть единое понятие несчетности. А если Вы считаете, что есть два понятия несчетности, то не можете ли Вы дать определения этих двух понятий? И в чем между ними разница?

Я, может быть, не совсем точно выразился. Определение несчётности одно (считая эквивалентные определения одним и тем же). Но смысл этого понятия существенно зависит от рассматриваемой модели теории множеств. В частности, если алфавит языка (аксиоматической) теории множеств не более чем счётен, то существует счётная модель этой теории (теорема Лёвенгейма - Скулема). Тем не менее, в этой модели имеются несчётные множества. Несмотря на то, что все они являются подмножествами этой счётной модели. Они счётны в "исходной" модели и несчётны в той счётной модели, которая строится в теореме Лёвенгейма - Сколема. Просто потому, что ни один из имеющихся в "исходной" модели способов нумерации этих множеств не попал в счётную модель.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Еще разногласие: я продолжаю настаивать, что теореме Кантора (в наивной теории) противоречит понятие конкретного, по-Вашему – определимого – множес-тва.

В наивной теории множеств понятие "конкретного" множества не определено. Вам придётся формализовать наивную теорию множеств и на строгом формальном языке сформулировать определение конкретного множества. Когда Вы это сделаете, тогда и поговорим. А пока ничего, кроме пустого препирательства, не будет.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Еще разногласие: Вы пишете:«Дело в том, что формулы теории множеств не являются объектами теории множеств, и внутри мира этой теории недоступны.»

А Ю.И.Манин в своей книжке пишет, что в современной математической логике есть два формальных языка: язык арифметики и язык теории множеств. И последний отнюдь не есть метаязык, как Вы пишете, а тот самый язык, на котором доказываются теоремы теории множеств.

??? Формальных языков в математической логике гораздо больше. Я встречал описания бесконечного семейства формальных языков (в ДАН СССР была серия статей об этих языках, но автора я уже не помню). Вы просто неправильно поняли, что написал Манин.

И, конечно, Вы так и не поняли, что такое метаязык. Хотя я, вроде бы, объяснил достаточно ясно: это язык, используемый для описания языка формальной теории. Для этой цели можно использовать любой достаточно богатый язык. И язык арифметики Пеано, и язык аксиоматической теории множеств достаточно богаты, поэтому могут использоваться в качестве метаязыка. В частности, мы можем описать язык теории множеств, используя для этой цели язык теории множеств. Однако это будут разные языки. Например, у них разные алфавиты.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Еще один вопрос к Вам. Вы пишете: «Описание множества как совокупности каких-то объектов – это некоторая интерпретация, совершенно не обязательная».

Но хоть какая-то интерпретация все-таки нужна? Иначе как Вы будете проверять, удовлетворяются ли принятые в данной теории аксиомы?

Не понял вопроса. Аксиомы "удовлетворяются" по определению. Для формальной теории интересен вопрос, доказуемо то или иное утверждение или не доказуемо. Если утверждение доказуемо и теория непротиворечива, то утверждение истинно. Никакая интерпретация здесь не нужна.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Отвечаю: Никакой другой процедуры нумерации у меня нет. У меня одна процедура: сначала я даю №1 еще не построенному множеству внешних номеров, назовем его К, которое получится после окончания процедуры, а затем нумерую остальные множества натуральных чисел, как-то, не важно, как.

Гы-гы-гы! (Не выдержал, вставил смайлик, хотя не имею обычая ими пользоваться.) А откуда Вы знаете, какое получится множество внешних номеров, если процедура нумерации ещё не построена?

Давайте сделаем проще: Вы просто предъявите процедуру нумерации всех подмножеств натурального ряда. И вопрос будет закрыт. Если не предъявите, будем просить модератора перенести Вашу дискуссию в Пургаторий.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Дело в том, что теореме Кантора противоречит множество, известное как универсум фон-Неймана V. Оно содержит в себе все свои подмножества и совпадает с множеством всех своих подмножеств. Для него тривиальное отображение F(x)=x и дает биекцию между множеством V и множеством всех его подмножеств U(V), биекцию, которая запрещена теоремой Кантора. И множество внешних прообразов оказывается тем множеством, которое мы называем множеством Рассела.

На универсум фон Неймана $\mathbb V$ можно посмотреть с двух точек зрения.

1) Извне - с точки зрения метатеории. Мы можем построить в метатеории какую-нибудь модель теории множеств, например, даже счётную, и тогда с точки зрения метатеории универсум фон Неймана будет счётным множеством. Тот, кто знает, как строится $\mathbb V$, разумеется, понимает, что $\mathbb V\subseteq\mathbb V$, но $\mathbb V\notin\mathbb V$ - потому что $\mathbb V$ не появляется ни на каком шаге простроения $\mathbb V$. Вообще, легко видеть, что любое множество, принадлежащее $\mathbb V$ (в качестве элемента, а не подмножества), имеет ординальный ранг строго больший, чем ординальный ранг любого из его элементов. Однако $\mathbb V$ имеет подмножества, ординальные ранги элементов которых не ограничены никаким ординалом, и такие подмножества не появляются ни на каком шаге построения и потому не являются элементами $\mathbb V$.
2) Изнутри - с точки зрения предметной теории. С этой точки зрения $\mathbb V$ вообще не является множеством и, разумеется, не является своим подмножеством. Разумеется, "класс подклассов" для классов не определён. В теории множеств нет никаких аксиом, позволяющих определить что-нибудь типа "класса подклассов".

И с той, и с другой точки зрения никакого совпадения $\mathbb V$ с классом подклассов $\mathbb V$ нет.

Что касается Вашей биекции, то для неё множество внешних номеров совпадает со всем $\mathbb V$ по тривиальной причине: элемент $x\in\mathbb V$ появляется в иерархии только после того, как будут построены все элементы множества $x$, и по этой причине $x\notin x$.

[epros]

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

1. По Вашему ответу на мой вопрос: «можно ли искусственно построенные противоречия предъявлять в доказательствах от противного?» перехожу на Вашу терминологию и повторяю свой вопрос:

можно ли ничтожные определения предъявлять в доказательствах от противного?

Что значит "предъявлять в доказательствах"? Определив заведомо несуществующий объект, можно доказать, что он не существует. Например, определив "дробное натуральное число", мы можем:
1. Предположить, что такое число существует.
2. Доказать, что оно целое (из натуральности).
3. Доказать, что оно не целое (из дробности).
4. Убедиться в том, что 2-ое противоречит 3-ему.
5. Из наличия противоречия сделать вывод, что предположение 1 неверно.

В чём проблема?

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

можете ли Вы доказать теорему Кантора не так, как в википедии и во всех учебниках?

Зачем? Меня вполне устраивает обычное доказательство несчётности множества всех подмножеств натуральных чисел.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

сначала я даю №1 еще не построенному множеству внешних номеров

Невозможно определять что-то через понятия, которые ещё не определены. Процедура нумерации пока не определена, значит Вы не имеете право утверждать, какому множеству ещё не существующая процедура присваивает первый номер.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Правильный ответ на этот парадокс состоит в том, что определение множества К в том случае, когда у него есть номер, ничтожно.

Вы, конечно, можете сформулировать определение множества K так: "Такое множество внешних номеров процедуры нумерации, которое имеет первый номер". Это определение действительно будет ничтожным: Потому что не существует такой процедуры нумерации, которая присваивает первый номер своему множеству внешних номеров. Но причём тут теорема Кантора? При доказательстве несчётности множества всех подмножеств натуральных чисел ТАКОГО определения никто не использует.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Моя позиция: какому угодно множеству, какой хочу, такой номер и присвою.

Вы понимаете разницу между этими двумя утверждениями:
1. Для любого множества существует процедура, присваивающая ему номер.
и
2. Существует процедура, присваивающая номер любому множеству.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

Позиция Eprosa: произвол при нумерации недопустим.

Неправда, моя позиция не в этом. См. выше: Утверждение (1) истинно, а утверждение (2) - ложно. Это значит, что при нумерации допустИм любой произвол, но это не значит, что одной процедурой удастся пронумеровать всё.

Nikita Anatolevich в сообщении #552445 писал(а):

а Расселу придумать ничтожное определение множества Рассела можно было – в порядке исключения?

Вы просто не видите разницы. Рассел не пытался давать определения через неопределённые понятия. В своих определениях он опирался на аксиоматику Фреге (ещё раз спрошу: Вы понимаете о какой именно аксиоматике речь?) "Не принадлежать себе" - это вполне легальное свойство, выразимое в языке теории множеств:

$\varphi(x) \equiv x \notin x$.

А аксиоматика Фреге утверждает, что ЛЮБОЕ свойство $\varphi$ определяет множество $y$:

$\exists y \forall x ~ x \in y \leftrightarrow \varphi(x)$.

В современных аксиоматиках теории множеств подобной аксиомы НЕТ, поэтому и противоречия никакого не возникает.

[Nikita Anatolevich]

Уважаемый г-н Someone! 28.03.2012

Мне очень хотелось бы усвоить Ваше понятие множества, но остается много непонятных для меня вопросов по Вашему пониманию предмета. Вот Вы пишете: «Описание множества как совокупности каких-то объектов – это некоторая интерпретация, совершенно не обязательная». Вопрос к Вам:

Какую интерпретацию можете Вы предложить, кроме указанной Вами, не обязательной?

Следующий вопрос. Вы пишете:

«Канторовское “понятие” множества не является интерпретацией аксиоматической теории множеств ввиду совершенно неопределенного круга “множеств” в “смысле” Кантора.»

А в том «описании множества как совокупности каких-то объектов», которое Вы упомянули выше, как одну из возможных интерпретаций, какую Вы имели в виду определенность круга множеств?

Значит ли это, что если кто-то предложит упомянутую Вами интерпретацию, то он еще должен указать для нее определенный круг множеств?

Следующий вопрос: знакомо ли Вам доказательство теоремы Кантора в википедии, и согласны ли Вы с ним?

Следующий вопрос.

В ответ на мое указание возможности присвоить номер множеству заранее, до того, как оно будет построено, Вы задали вопрос: А откуда Вы знаете, какое получится множество внешних номеров, если процедура нумерации еще не построена?

Отвечаю. Процедуру нумерации не надо строить. Она остается произвольной во всех рассуждениях по теореме Кантора. Процедуру нумерации нужно не строить, а выполнять. Но порядок выполнения может быть произвольным Теорема Кантора доказывается при любом порядке нумерации. И для присвоения номера множеству не нужно знать, какое оно получится. При доказательстве теоремы Кантора в википедии номер множества внешних номеров предполагается заданным, и никаких знаний о множестве внешних номеров К не предполагается, кроме того, что оно объединяет в себе внешние номера. Нумерация есть действие произвольное. И порядок процедуры нумерации произволен. Почему бы не начать с множества К?

Прежде чем закрывать дискуссию, полагаю, что нужно четко сформулировать разногласия. По двум разным понятиям несчетности мы вопрос несколько прояснили, но не до конца. Очень интересно было бы понять, как в счетной модели могут появиться несчетные подмножества. Но это потом, а пока много гораздо более простых вопросов, на которые я хотел бы получить от Вас ответы.

Еще один совсем простой вопрос. Вы пишете:

« . . .этот Ваш "КП". . . , неизвестно, есть ли он у множества, о котором мы говорим.»

Вы допускаете существование множеств без КП? Очевидно, допускаете. Но примера привести не можете. Вот уже вполне четкое разногласие. Или все-таки не допускаете?

Поясняю: я не допускаю. Как при этом я понимаю теорему Кантора – вопрос особый.

На сегодня хватит, боюсь Вас утомить.

Искренне Ваш Nikita.

[Jnrty]

Jnrty:

Этот набор безграмотных заявлений в ответ на аргументированные разъяснения превосходит всё, что можно было ожидать. Посему тема перемещается в Пургаторий. Открывать другую тему с целью продолжения обсуждения запрещается. В случае нарушения будете заблокированы.
Nikita Anatolevich, Вам будет разрешено продолжить обсуждение только в одном случае. Поскольку Вы заявляете, что множество подмножеств натурального ряда счётно, будьте любезны предъявить соответствующую нумерацию. Тем более, что Вас об этом уже просили, а Вы эту просьбу проигнорировали, в то время как по правилам нашего форума, относящимся к дискуссионным разделам, авторы дискуссионных тем обязаны отвечать на вопросы, касающиеся обсуждаемой темы, в особенности если эти вопросы заданы Заслуженными участниками.
Заслуженные участники имеют возможность ответить на Ваше сообщение, если сочтут это нужным.