Ассоциативность прямого произведения

[xmaister]

Пусть $A,B,C\in\mathrm{Ob}\mathcal{C}$ в произвольной категории $\mathcal{C}$. Доказать, что $(A\times B)\times C\simeq A\times (B\times C)$, если указанные произведения существуют.
Прямое произведение это тройка $\langle A\times B,p_1,p_2\rangle$, такая что для любого $C\in\mathrm{Ob}\mathcal{C}$ и любых $f\in\mathrm{Hom}(C,A),g\in\mathrm{Hom}(C,B)$ диаграмму

$$\xymatrix{&C\ar[rd]^{g}\ar@{-->}[d]\ar[ld]_{f}\\A&A\times B\ar[l]_{p_2}\ar[r]^{p_1}&B}$$

можно сделать коммутативной единственным морфизмом.
Если нарисовать диаграммы для исходных произведений то для $(A\times B)\times C$ получается какая-то жуть и как искать по ним изоморфизмы не понимаю.

[Mysterious Light]

Прямое произведение -- это проективный предел диаграммы из двух точек: A и B. Кстати, обобщается на любое количество объектов, как их проективный предел.
Мне кажется, проще доказать, что $(A\times B)\times C\simeq A\times B\times C$ с точностью до единственного изоморфизма. Кстати, изоморфизм можно и не строить из-за специфики пределов. По сути, можно сказать, что объект $(A\times B)\times C$ удовлетворяет диаграмме для проективного предела над $(A,B,C)$. Это проверяется визуально на диаграмме. Это и есть доказательство, ведь мы показали, что $(A\times B)\times C$ является $A\times B\times C$, а значит они равны с точностью до уникального изоморфизма.
Аналогично, $A\times (B\times C)\simeq A\times B\times C$ (или используем коммутативность умножения)

На всякий случай повторюсь: мы проверяем тождество, а потом говорим, что они равны до уникального изоморфизма. Это вызвано тем, что, вообще говоря, даже $A\times B= A\times B$ нельзя говорить, в общем случае это неправильно. Но мы хотим мыслить произведение какой-то конкретной функцией, как мы это мыслим в конкретных категориях (Set,Vect,Top,...). Благо, мы так можем делать: если пределы и различны (формально), то всё равно мы можем все рассуждения перенести, используя данный нам единственный изоморфизм.

[Mysterious Light]

Не умею рисовать красиво диаграммы. Как получилось:

$$\xymatrix{ &&(A\times B)\times C \ar[ld]\ar[rdd]& \\ &A\times B \ar[rd] \ar[ld]&& \\ A&&B&C \\ &&P\ar[ru]_{c}\ar[u]^{b}\ar[llu]^{a}\ar@{-->}@/^5pt/[luu]^{!f} \ar@{-->}@/_15pt/[uuu]_{!g} && }$$

Для произвольного объекта $P$ и трех стрелок в $A$,$B$ и $C$ можно построить диаграмму, приведенную выше, причем стрелка $f=\langle a,b \rangle$ появляется из определения $A\times B$, а стрелка $g=\langle f,c \rangle$ -- из $(A\times B)\times C$.
Как видно, для любых стрелок $a$,$b$ и $c$ определена и единственна стрелка, заставляющая коммутировать диаграмму

$$\xymatrix{&(A\times B)\times C \ar[ld]\ar[rd]\ar@/_5pt/[d]& \\ A&B&C \\ &P\ar[ru]_{c}\ar[u]^{b}\ar[lu]^{a} \ar@{-->}@/_15pt/[uu]_{!g} && }$$

Это означает, что конкретный объект $(A\times B)\times C$ с его морфизмами в $A$,$B$ и $C$, которые выражаются через проекции исходных двух произведений, может рассматриваться как произведение трёх объектов.

[Kallikanzarid]

xmaister
Проще всего показать, что оба объекта будут тройными произведениями.

[xmaister]

Mysterious Light
Большое спасибо за подробное объяснение.
Kallikanzarid
Не понял Вас, поясните пожалуйста, что такое тройное произведение? В книге только про прямое сказано...