Интуиция и мотивация для введения фильтров и ультрафильтров

[wallflower]

Сабж. Для меня это пока какие-то "абстрактные" понятие, которые каким-то магическим образом случайно помогают доказать некоторые теоремы. Но как вообще пришли к такому понятию? Что творится в мозгу человека, который думает "тут для доказательства следует ультрафильтры применять"? И, кстати, почему выбрано такое слово -- "фильтр"? Что он фильтрует?

[Padawan]

Для меня более естественным выглядит понятие базы фильтра. А фильтр уже получается как максимальная база, содержащая данную базу. Его можно выбрать в качестве канонического представителя в классе эквивалентных баз. Базы фильтров естественно возникают при введении общего понятия предела.
Ультрафильтр -- это максимальный фильтр. Он характеризуется тем, что для любого множества $A$ выполнено либо $A\in \mathcal F $, либо ${\operatorname{\mathbf C}}A\in\mathcal F$. Главный ультрафильтр -- это семейство всех надмножеств данной точки, причем соответствие между точками и главными ультрафильтрами взаимно однозначно.
Ну и на произвольный ультрафильтр я смотрю как на некоторое обобщение главного ультрафильтра -- он тоже определяет некоторую точку в некотором расширении данного пространства.

[wallflower]

Спасибо.

Я тут между делом ещё одну интуитивную интерпретацию нагуглил. Пусть дано $X$ и фильтр $\mathcal F$ на нём. Элементы $2^X$ можно рассматривать как высказывания, некоторые из которых могут быть истинными или ложными. $X\setminus A$ можно понимать как $\lnot A$, $A\subseteq B$ -- как $A\Rightarrow B$ (то есть за счёт порядка $\subseteq$ на $2^X$ у нас все высказывания дедуктивно связаны). Тогда фильтр $\mathcal F\subseteq 2^X$ можно рассматривать как дедуктивно замкнутое множество истинных утверждений на $2^X$ (при этом $\varnothing$ всегда ложно, $X$ всегда истинно, как следует из аксиом фильтра).

Аксиомы фильтра приобретут следующий смысл
(F1) $\mathcal F\neq \varnothing$, $\varnothing\notin \mathcal F$: в $2^X$ есть как ложные, так и истинные утверждения.
(F2) $A\in \mathcal F$ и $A\subseteq B$, то $B\in\mathcal F$: Modus Ponens.
(F3) $A_1,A_2\in\mathcal F~\Rightarrow~A_1\cap A_2\in\mathcal F$: если $A$ и $B$, то $A\land B$.

Если $\mathcal F$ -- ультрафильтр, то в про любое утверждение мы можем сказать -- истинно оно или ложно.

Базу $\mathcal B$ можно понимать как затравку. Мы говорим, что высказывания из $\mathcal B$ истинны. За счёт дедуктивных связей они потянут другие и в конце концов замкнёмся -- получим фильтр.