2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интуиция и мотивация для введения фильтров и ультрафильтров
Сообщение17.03.2012, 11:21 
Аватара пользователя


24/12/11
186
Сабж. Для меня это пока какие-то "абстрактные" понятие, которые каким-то магическим образом случайно помогают доказать некоторые теоремы. Но как вообще пришли к такому понятию? Что творится в мозгу человека, который думает "тут для доказательства следует ультрафильтры применять"? И, кстати, почему выбрано такое слово -- "фильтр"? Что он фильтрует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция и мотивация для введения фильтров и ультрафильтров
Сообщение17.03.2012, 12:24 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Для меня более естественным выглядит понятие базы фильтра. А фильтр уже получается как максимальная база, содержащая данную базу. Его можно выбрать в качестве канонического представителя в классе эквивалентных баз. Базы фильтров естественно возникают при введении общего понятия предела.
Ультрафильтр -- это максимальный фильтр. Он характеризуется тем, что для любого множества $A$ выполнено либо $A\in \mathcal F $, либо ${\operatorname{\mathbf C}}A\in\mathcal F$. Главный ультрафильтр -- это семейство всех надмножеств данной точки, причем соответствие между точками и главными ультрафильтрами взаимно однозначно.
Ну и на произвольный ультрафильтр я смотрю как на некоторое обобщение главного ультрафильтра -- он тоже определяет некоторую точку в некотором расширении данного пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция и мотивация для введения фильтров и ультрафильтров
Сообщение18.03.2012, 16:43 
Аватара пользователя


24/12/11
186
Спасибо.

Я тут между делом ещё одну интуитивную интерпретацию нагуглил. Пусть дано $X$ и фильтр $\mathcal F$ на нём. Элементы $2^X$ можно рассматривать как высказывания, некоторые из которых могут быть истинными или ложными. $X\setminus A$ можно понимать как $\lnot A$, $A\subseteq B$ -- как $A\Rightarrow B$ (то есть за счёт порядка $\subseteq$ на $2^X$ у нас все высказывания дедуктивно связаны). Тогда фильтр $\mathcal F\subseteq 2^X$ можно рассматривать как дедуктивно замкнутое множество истинных утверждений на $2^X$ (при этом $\varnothing$ всегда ложно, $X$ всегда истинно, как следует из аксиом фильтра).

Аксиомы фильтра приобретут следующий смысл
(F1) $\mathcal F\neq \varnothing$, $\varnothing\notin \mathcal F$: в $2^X$ есть как ложные, так и истинные утверждения.
(F2) $A\in \mathcal F$ и $A\subseteq B$, то $B\in\mathcal F$: Modus Ponens.
(F3) $A_1,A_2\in\mathcal F~\Rightarrow~A_1\cap A_2\in\mathcal F$: если $A$ и $B$, то $A\land B$.

Если $\mathcal F$ -- ультрафильтр, то в про любое утверждение мы можем сказать -- истинно оно или ложно.

Базу $\mathcal B$ можно понимать как затравку. Мы говорим, что высказывания из $\mathcal B$ истинны. За счёт дедуктивных связей они потянут другие и в конце концов замкнёмся -- получим фильтр.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group