Найти все тройки $(m,n,k)$

[nnosipov]

натуральных чисел, для которых $5^m-3^n=k^2$.

Хотелось бы решить эту задачу как-нибудь попроще.

[hippie]

Ответ: (2; 2; 4).

По модулю 3 — $m$ чётное.
Следовательно $3^n = \left(5^{\frac m2}\right)^2-k^2 = \left(5^{\frac m2}-k \right)\left(5^{\frac m2}+k \right).$
Таким образом и $5^{\frac m2}-k$ и $5^{\frac m2}+k$ являются степенями тройки. Т.к. их сумма, равная $2\cdot5^{\frac m2},$ не кратна 3, то это возможно только в том случае, когда $5^{\frac m2}-k=1,$ т.е. $2\cdot5^{\frac m2}=3^n+1.$
$3^n+1$ кратно 25 только при $n\equiv 10\ (\mod 20).$ Но в этом случае $3^n+1$ кратно $3^{10}+1=2\cdot 5^2\cdot 1181,$ т.е. не может быть удвоенной степенью пяти.
Следовательно $\frac m2 = 1,$ соответственно $n=2;\ k=4.$

[nnosipov]

hippie в сообщении #549605 писал(а):

т.е. $2\cdot5^{\frac m2}=3^n+1.$

Действительно, ведь уравнение $2 \cdot 5^x=3^y+1$ можно решать стандартным способом. А я фактически решал уравнение $2 \cdot 5^x=z^2+1$, что явно лишнее. Спасибо.