2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти все тройки $(m,n,k)$
Сообщение18.03.2012, 07:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
натуральных чисел, для которых $5^m-3^n=k^2$.

Хотелось бы решить эту задачу как-нибудь попроще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все тройки $(m,n,k)$
Сообщение18.03.2012, 09:36 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Ответ: (2; 2; 4).

По модулю 3 — $m$ чётное.
Следовательно $3^n = \left(5^{\frac m2}\right)^2-k^2 = \left(5^{\frac m2}-k \right)\left(5^{\frac m2}+k \right).$
Таким образом и $5^{\frac m2}-k$ и $5^{\frac m2}+k$ являются степенями тройки. Т.к. их сумма, равная $2\cdot5^{\frac m2},$ не кратна 3, то это возможно только в том случае, когда $5^{\frac m2}-k=1,$ т.е. $2\cdot5^{\frac m2}=3^n+1.$
$3^n+1$ кратно 25 только при $n\equiv 10\ (\mod 20).$ Но в этом случае $3^n+1$ кратно $3^{10}+1=2\cdot 5^2\cdot 1181,$ т.е. не может быть удвоенной степенью пяти.
Следовательно $\frac m2 = 1,$ соответственно $n=2;\ k=4.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти все тройки $(m,n,k)$
Сообщение18.03.2012, 10:17 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
hippie в сообщении #549605 писал(а):
т.е. $2\cdot5^{\frac m2}=3^n+1.$
Действительно, ведь уравнение $2 \cdot 5^x=3^y+1$ можно решать стандартным способом. А я фактически решал уравнение $2 \cdot 5^x=z^2+1$, что явно лишнее. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group