Вопрос по определению предела Коши

[Valdemar1990]

Доброе время суток.
Хотелось бы попросить помощи в одной маленькой нестыковке, которая возникла у меня.

Читаю википедию и методичку внутриинститутского производства. Оба источника настаивают на таком определении предела функции:

"Значение A называется пределом (предельным значением) функции f(x) в точке x' , если для любой окрестности O(A) точки A существует выколотая окрестность O^(x') точки x' такая, что образ этой окрестности f[O^(x')] лежит в O(A)"

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 1.88.D0.B8

Обращаю внимание на то, что в определении предела из википедии фигурирует именно выколотая окрестность точки x', то есть окрестность, не содержащая саму точку x'.

Далее в той же википедии читаю отрывок в статье, посвященной непрерывным функциям:

"Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения."

Таким образом, получается, что в изолированной точке t своей области определения предел функции при стремлении x к этой точке t, равен значению самой функции t в этой точке, в силу определения непрерывности функции в точке. То есть, в изолированной точке предел существует!

Собственно вопрос у меня возник такой:
Как по определению предела функции Коши, которое я процитировал в начале поста, предел функции в изолированной точке может существовать?
Ведь в соответствии в этим определением, поскольку точка изолирована, то найдется выколотая окрестность этой изолированной точки, которая будет пустой и значит образ этой окрестности не будет лежать в соответствующей окрестности O(A).

Где я ошибаюсь и ошибаюсь ли? Верно ли определение, данное в википедии, или же нет, и соответствующая окрестность точки x' должна быть обычной, а не проколотой?

[RIP]

В определении непрерывности функции в точке ни слова не сказано о пределах. Только в случае, когда $t$ — предельная точка области определения, его можно переформулировать через предел функции в точке (по множеству).

Valdemar1990 в сообщении #549561 писал(а):

Ведь в соответствии в этим определением, поскольку точка изолирована, то найдется выколотая окрестность этой изолированной точки, которая будет пустой и значит образ этой окрестности не будет лежать в соответствующей окрестности O(A).

Как раз наоборот: образ пустого множества — пустое множество, которое является подмножеством любого множества.

-- Вс 18.03.2012 02:11:48 --

Для того, чтобы можно было говорить о пределе функции в точке, необходимо, чтобы эта точка была предельной для области определения функции. Это требование — часть стандартного определения предела функции в точке.

[Valdemar1990]

RIP, спасибо, про пустые множества я как-то и упустил из виду.

Сейчас еще раз пролистал учебник по матану Кудрявцева и сравнил с тем, что написано в википедии - совсем запутался, ибо разница в написанном колоссальная.

1)Определение предела функции по Коши вводится через обычную окрестность (непроколотую)
2)С Гейне - та же история, то есть речи о том, что последовательность не должна содержать саму точку x', к которой стремится x, в учебнике Кудрявцева не идет.
3)Непрерывность вводится как равенство предела функции в точке (причем почему-то любой: как предельной, так и изолированной), принадлежащей области определения, значению самой функции в данной точке.

4)

Цитата:

Для того, чтобы можно было говорить о пределе функции в точке, необходимо, чтобы эта точка была предельной для области определения функции. Это требование — часть стандартного определения предела функции в точке.

И наконец то, что окончательно запутало меня. После доказательства короткой леммы о том, что в любой изолированной точке функция непрерывна, следует следующее утверждение, которое явно противоречит тому, что говорить о пределе функции в точке необходимо тогда, когда эта точка является предельной:

" Из леммы следует, что вопрос о пределе функции в изолированной точке множества ее определения решается совсем просто: он всегда существует и равен f(x') " (с)

Кому верить?
Получается в учебнике Кудрявцева изначально неверно толкуется понятие предела функции? Или я упускаю из виду какую-то равносильность понятий?

[RIP]

В некоторых книжках в определении предела, действительно, берётся обычная окрестность, а не проколотая. Эти определения не эквивалентны. Определение с проколотой окрестностью более распространено (по крайней мере, мне так кажется), именно его я назвал "стандартным".

-- Вс 18.03.2012 04:45:01 --

Кстати, в предисловии автор объясняет причины такого "методического новшества".

[ex-math]

Если определять через непроколотую окрестность, то в точке устранимого разрыва предел функции не существует, что явно противоречит пониманию того, что такое предел.

Напишите подробнее, чем же можно "методически обосновать" подобную чушь.

А вот определение непрерывности действительно повторяет определение предела, но с непроколотой окрестностью. И в самом деле, в любой изолированной точке $x_0$ непрерывность будет иметь место, так как при достаточно малом $\delta$ единственной точкой $\delta$-окрестности будет сама точка $x_0$, а $|f(x_0)-f(x_0)|$, разумеется, меньше любого $\varepsilon$.

[Joker_vD]

Valdemar1990
Это какой такой у вас учебник Кудрявцева? В моем "Курсе математического анализа" 1981 года все с проколотыми окрестностями делается.

[Valdemar1990]

Joker_vD, у меня учебник Кудрявцева то ли 2003, то ли 2008 года. Одним словом, новый.

RIP, действительно, прочел сейчас предисловие. Однако, у меня возник тот же самый вопрос, что у ex-math - почему такое определение предела обосновано?

И собственно два вопроса, на которые вам наверное не составит ответить никакого труда:
1)Верно ли, что в изолированных точках предела функции не существует, так как эти точки заведомо не являются предельными?
2)Верно ли, что если область определения функции состоит из одной единственной точки, то предела функции в этой точке тоже не существует?

[RIP]

Если пользоваться "обычным" определением, то ответ на оба вопроса положительный. Прокомментировать обоснованность определения не могу.

[Joker_vD]

Можно взять два разных издания Кудрявцева и посмотреть, где стало проще, а где — сложнее. Подозреваю, что выходит "баш на баш". Оно и понятно: уродливые функции никуда не деваются, свойства у них остаются уродскими, и учитывать их приходится по-любому.

[ex-math]

И все же, функцию

$$ f(x)=\left\{0,x\neq0,\atop1,x=0\right. $$

сложно назвать уродской. Вполне ли отвечает здравому смыслу определение, по которому она не имеет предела в нуле?

[Someone]

Ну, на самом деле оба определения - частные случаи определения предела по базе. Просто в одном случае базу составляют проколотые окрестности точки, в другом - (полные) окрестности. Таких баз (попарно не эквивалентных) можно "придумать" $2^{\mathfrac c}$, так что поле деятельности для жаждущих оригинальности очень широкое. Традиционно в математическом анализе используется определение с проколотыми окрестностями. Некоторые топологи, видимо, рассматривают его как одно из многих и порой используют второе определение, я с этим сталкивался ещё в семидесятые годы.

На мой взгляд, определение предела с проколотыми окрестностями используется в математическом анализе не случайно. Это понятие нужно именно в тех случаях, когда функция в предельной точке не определена или имеет "случайное" значение, так как в противном случае никакого предела не нужно, можно просто подставить в функцию предельную точку. Предел по базе из (полных) окрестностей является, на самом деле, избыточным понятием, так как эквивалентен понятию непрерывности в точке.

Что касается Кудрявцева, то мне, конечно, интересно было бы посмотреть его доводы в пользу замены традиционного определения другим. Если это не длинно, может быть, кто-нибудь процитирует их здесь? (если длинно, то не надо.)

[Maslov]

Кудрявцев Л.Д. в "Курсе математического анализа" (2003, т.1, стр. 4-5) писал(а):

Из существенных методических новшеств, которые автор считает целесообразными, следует отметить, что определении предела функции по множеству при $x \to x_0$ не требуется выполнения условия $x \neq x_0$, так как это позволяет излагать вопросы, связанные с теорией пределов, проще и короче: например, само определение предела делается короче (на одно условие меньше), а тем самым упрощаются и доказательства, в которых участвуют пределы функций; не нужно рассматривать отдельно от теории пределов функций непрерывные функции; делается наглядным и убедительным утверждение, что в математике дискретность является частным случаем непрерывности; упрощаются формулировка и доказательство важной теоремы о пределе композиции функций и т.д.

[Someone]

Понятно. Конечно, с непрерывностью проще иметь дело, чем с пределом, но это же не повод отказываться от нужного инструмента и заменять его дублем непрерывности.

[Maslov]

Это не совсем дубль непрерывности: для существования $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ не требуется принадлежности точки $x_0$ области определения функции $f(x)$. Кроме этого, по-прежнему имеют смысл бесконечные пределы.

Предел по проколотой окрестности Кудрявцев, кстати, тоже упоминает

Кудрявцев Л.Д. в "Курсе математического анализа" (2003, т.1, стр. 169) писал(а):

Отметим один часто встречающийся случай предела функции в точке, когда предел берется по проколотой окрестности (она определена ниже) этой точки или по пересечению проколотой окрестности с множеством определения рассматриваемой функции.

и далее пишет:

Кудрявцев Л.Д. в "Курсе математического анализа" (2003, т.1, стр. 170) писал(а):

одна и та же функция может по одному множеству иметь предел в некоторой точке, а по другому не иметь предела в той же точке или иметь, но другой.

Другими словами, предел по проколотой окрестности рассматривается как частный случай предела по множеству.

[Someone]

Maslov в сообщении #549975 писал(а):

для существования $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ не требуется принадлежности точки $x_0$ области определения функции $f(x)$

Да. Писал в спешке, и не обратил внимания, что это предел по множеству.