2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Является ли 0 предельной точкой последовательности?
Сообщение17.03.2012, 17:34 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Помогите пожалуйста с такой задачей:
Является ли $0$ предельной точкой последовательности $a_n=\sqrt{n}\sin{n}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение17.03.2012, 18:08 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
MrDindows в сообщении #549393 писал(а):
Является ли $0$ предельной точкой последовательности $a_n=\sqrt{n}\sin{n}$ ?
Да. В качестве подпоследовательности можно взять $n_k=P_k$, где $P_k/Q_k$ --- $k$-я подходящая дробь к числу $\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение17.03.2012, 18:35 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Я думал об этом. Но у нас то синус ещё множится на корень из эн.
То есть
Пусть
$\pi=P_k/Q_k-\alpha_k$
Тогда
$a_k=\sqrt{P_k}\sin(Q_k\pi+Q_k\alpha_k)$
Значит надо доказать, что $\sqrt{P_k}\cdot Q_k \cdot \alpha_k$ стремится к нулю. Как это сделать?
Или я неправильно рассуждаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение17.03.2012, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск

(Оффтоп)

Извините, что не в тему. Но заинтересовал вопрос: существуют ли такие натуральные $n,m$, что $\sqrt{n}\sin n=\sqrt{m}\sin m$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение17.03.2012, 18:46 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
MrDindows в сообщении #549432 писал(а):
Значит надо доказать, что $\sqrt{P_k}\cdot Q_k \cdot \alpha_k$ стремится к нулю. Как это сделать?
Есть стандартная оценка для $\alpha_k$.

-- Сб мар 17, 2012 22:53:19 --

xmaister в сообщении #549433 писал(а):

(Оффтоп)

Извините, что не в тему. Но заинтересовал вопрос: существуют ли такие натуральные $n,m$, что $\sqrt{n}\sin n=\sqrt{m}\sin m$?

(Оффтоп)

При $m \neq n$ число $\sin{m}/\sin{n}$ трансцендентно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение17.03.2012, 19:08 
Заслуженный участник


02/08/10
629
nnosipov в сообщении #549439 писал(а):
MrDindows в сообщении #549432 писал(а):
Значит надо доказать, что $\sqrt{P_k}\cdot Q_k \cdot \alpha_k$ стремится к нулю. Как это сделать?
Есть стандартная оценка для $\alpha_k$.

Какая?
Я кроме $\alpha_k<\frac{1}{2Q_k}$ не могу придумать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение17.03.2012, 19:18 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
$|\alpha_k|<(Q_kQ_{k+1})^{-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение17.03.2012, 20:07 
Заслуженный участник


02/08/10
629
nnosipov в сообщении #549449 писал(а):
$|\alpha_k|<(Q_kQ_{k+1})^{-1}$.

Мб посоветуете, где можно почитать про рациональное приближение, и в частности доказательство этой оценки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение17.03.2012, 20:29 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
Например, "Основы теории чисел" Виноградова. Годится любой учебник по элементарной теории чисел, где есть глава о цепных дробях (а почти в любом учебнике она есть).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group