Является ли 0 предельной точкой последовательности?

[MrDindows]

Помогите пожалуйста с такой задачей:
Является ли $0$ предельной точкой последовательности $a_n=\sqrt{n}\sin{n}$ ?

[nnosipov]

MrDindows в сообщении #549393 писал(а):

Является ли $0$ предельной точкой последовательности $a_n=\sqrt{n}\sin{n}$ ?

Да. В качестве подпоследовательности можно взять $n_k=P_k$, где $P_k/Q_k$ --- $k$-я подходящая дробь к числу $\pi$.

[MrDindows]

Я думал об этом. Но у нас то синус ещё множится на корень из эн.
То есть
Пусть
$\pi=P_k/Q_k-\alpha_k$
Тогда
$a_k=\sqrt{P_k}\sin(Q_k\pi+Q_k\alpha_k)$
Значит надо доказать, что $\sqrt{P_k}\cdot Q_k \cdot \alpha_k$ стремится к нулю. Как это сделать?
Или я неправильно рассуждаю?

[xmaister]

(Оффтоп)

Извините, что не в тему. Но заинтересовал вопрос: существуют ли такие натуральные $n,m$, что $\sqrt{n}\sin n=\sqrt{m}\sin m$?

[nnosipov]

MrDindows в сообщении #549432 писал(а):

Значит надо доказать, что $\sqrt{P_k}\cdot Q_k \cdot \alpha_k$ стремится к нулю. Как это сделать?

Есть стандартная оценка для $\alpha_k$.

-- Сб мар 17, 2012 22:53:19 --

xmaister в сообщении #549433 писал(а):

(Оффтоп)

Извините, что не в тему. Но заинтересовал вопрос: существуют ли такие натуральные $n,m$, что $\sqrt{n}\sin n=\sqrt{m}\sin m$?

(Оффтоп)

При $m \neq n$ число $\sin{m}/\sin{n}$ трансцендентно.

[MrDindows]

nnosipov в сообщении #549439 писал(а):

MrDindows в сообщении #549432 писал(а):

Значит надо доказать, что $\sqrt{P_k}\cdot Q_k \cdot \alpha_k$ стремится к нулю. Как это сделать?

Есть стандартная оценка для $\alpha_k$.

Какая?
Я кроме $\alpha_k<\frac{1}{2Q_k}$ не могу придумать)

[nnosipov]

$|\alpha_k|<(Q_kQ_{k+1})^{-1}$.

[MrDindows]

nnosipov в сообщении #549449 писал(а):

$|\alpha_k|<(Q_kQ_{k+1})^{-1}$.

Мб посоветуете, где можно почитать про рациональное приближение, и в частности доказательство этой оценки?

[nnosipov]

Например, "Основы теории чисел" Виноградова. Годится любой учебник по элементарной теории чисел, где есть глава о цепных дробях (а почти в любом учебнике она есть).