Система из 3 неравенств

[makc]

Помогите решить пожалуйста: Система из 3 неравенств
$x-y \leqslant-25$
$x^2-y\leqslant8$
$4x+y\leqslant1$
Извиняюсь за кривое написание просто не научился еще правильно оформлять)и хотел бы узнать можно ли решить эту систему не графически,если можно то просьба напишите идею

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Я вспомнил недавно обсуждавшуюся тему о слепых студентах.

[MrDindows]

Решить неравенства значит найти все пары $(x,y)$ удовлетворяющие этим неравенствам.
Если б таких пар в решении было конечное число, например несколько точек пересечения, то их в принципе можно было б найти и так, и указать в ответе явно: $(x_0,y_0)...(x_n,y_n)$.
Но когда множество этих пар бесконечно, и они составляют некую часть плоскость, то решение этих неравенств подразумевает именно графическое представление.

[makc]

MrDindows в сообщении #549053 писал(а):

Решить неравенства значит найти все пары $(x,y)$ удовлетворяющие этим неравенствам.
Если б таких пар в решении было конечное число, например несколько точек пересечения, то их в принципе можно было б найти и так, и указать в ответе явно: $(x_0,y_0)...(x_n,y_n)$.
Но когда множество этих пар бесконечно, и они составляют некую часть плоскость, то решение этих неравенств подразумевает именно графическое представление.

В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},графическим способом я нашел лишь плоскость в которой находятся эти числа а сам ответ не понимаю как получить

[Shadow]

makc в сообщении #549122 писал(а):

В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},

Значит было условие на целочисленость, которое Вы пропустили.

[spaits]

Shadow в сообщении #549180 писал(а):

makc в сообщении #549122 писал(а):

В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},

Значит было условие на целочисленость, которое Вы пропустили.

Скорее всего, у топикстартера ошибка в условии. Решение данной системы - пустое множество.
Что указанный ответ не является решением, легко проверить. Но и других решений нет.

[makc]

Shadow в сообщении #549180 писал(а):

makc в сообщении #549122 писал(а):

В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},

Значит было условие на целочисленость, которое Вы пропустили.

Да это я действительно пропустил в ответе требуются целочисленные решения

-- 17.03.2012, 07:19 --

spaits в сообщении #549203 писал(а):

Shadow в сообщении #549180 писал(а):

makc в сообщении #549122 писал(а):

В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},

Значит было условие на целочисленость, которое Вы пропустили.

Скорее всего, у топикстартера ошибка в условии. Решение данной системы - пустое множество.
Что указанный ответ не является решением, легко проверить. Но и других решений нет.

Данные точки находятся в общей плоскости решения,и при подстановке все прекрасно получается

[nnosipov]

makc, после того, как Вы нарисовали картинку и примерно прикинули, где могут находиться эти самые целые точки $(x,y)$, можно рассуждать так. Предположим, что $x \geqslant -4$. Тогда некоторые неравенства системы будут противоречить друг другу (укажите их и докажите, что они противоречивы). Значит, $x<-4$. Теперь предположим, что $x \leqslant -6$. И в этом случае некоторые неравенства системы окажутся противоречивыми (докажите и это). Поэтому должно быть $x>-6$. Таким образом, $-6<x<-4$. Но тогда $x=...$. А значит, $y=...$.

[bot]

Каждая из трёх кривых (приведённых к виду $f(x,y)=0$) делит плоскость на две части постоянства знаков функции $f$. Достаточно ткнуть в любую точку (например в начало координат), вычислить знаки трёх функций и эти знаки скажут, через какие границы надо перепрыгнуть, чтобы получить требуемые знаки.

[spaits]

makc в сообщении #549214 писал(а):

Данные точки находятся в общей плоскости решения,и при подстановке все прекрасно получается

Да, я ошиблась.
Теперь решала графически. Если не увеличить масштаб, то выбрать целочисленные значения по графику действительно трудно. Но точек две, как в ответе.
Я видела похожую, из задач ЕГЭ пятилетней давности.

-- Сб мар 17, 2012 10:22:38 --

nnosipov в сообщении #549216 писал(а):

makc, после того, как Вы нарисовали картинку и примерно прикинули, где могут находиться эти самые целые точки $(x,y)$, можно рассуждать так. Предположим, что $x \geqslant -4$. Тогда некоторые неравенства системы будут противоречить друг другу (укажите их и докажите, что они противоречивы). Значит, $x<-4$. Теперь предположим, что $x \leqslant -6$. И в этом случае некоторые неравенства системы окажутся противоречивыми (докажите и это). Поэтому должно быть $x>-6$. Таким образом, $-6<x<-4$. Но тогда $x=...$. А значит, $y=...$.

Спасибо, такой способ - наилучший.

[makc]

nnosipov в сообщении #549216 писал(а):

makc, после того, как Вы нарисовали картинку и примерно прикинули, где могут находиться эти самые целые точки $(x,y)$, можно рассуждать так. Предположим, что $x \geqslant -4$. Тогда некоторые неравенства системы будут противоречить друг другу (укажите их и докажите, что они противоречивы). Значит, $x<-4$. Теперь предположим, что $x \leqslant -6$. И в этом случае некоторые неравенства системы окажутся противоречивыми (докажите и это). Поэтому должно быть $x>-6$. Таким образом, $-6<x<-4$. Но тогда $x=...$. А значит, $y=...$.

Спасибо большое,только единственное хотел спросить нужно найти границы области решения,и затем просто подбирать внутри них все целочисленные?

[mihiv]

Можно даже не строить графики:сложим 1-е и 3-е неравенства,получим $x\leq -4.8$,а если сложить 2-е и 3-е неравенства,то найдем,что $x\geq -2-\sqrt {13}$,отсюда $x=-5$.

[makc]

mihiv в сообщении #549350 писал(а):

Можно даже не строить графики:сложим 1-е и 3-е неравенства,получим $x\leq -4.8$,а если сложить 2-е и 3-е неравенства,то найдем,что $x\geq -2-\sqrt {13}$,отсюда $x=-5$.

Спасибо огромное,так действительно намного проще)