2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система из 3 неравенств
Сообщение16.03.2012, 19:32 
Помогите решить пожалуйста: Система из 3 неравенств
$x-y \leqslant-25$
$x^2-y\leqslant8$
$4x+y\leqslant1$
Извиняюсь за кривое написание просто не научился еще правильно оформлять)и хотел бы узнать можно ли решить эту систему не графически,если можно то просьба напишите идею

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение16.03.2012, 20:30 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Я вспомнил недавно обсуждавшуюся тему о слепых студентах.

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение16.03.2012, 20:34 
Решить неравенства значит найти все пары $(x,y)$ удовлетворяющие этим неравенствам.
Если б таких пар в решении было конечное число, например несколько точек пересечения, то их в принципе можно было б найти и так, и указать в ответе явно: $(x_0,y_0)...(x_n,y_n)$.
Но когда множество этих пар бесконечно, и они составляют некую часть плоскость, то решение этих неравенств подразумевает именно графическое представление.

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение16.03.2012, 22:19 
MrDindows в сообщении #549053 писал(а):
Решить неравенства значит найти все пары $(x,y)$ удовлетворяющие этим неравенствам.
Если б таких пар в решении было конечное число, например несколько точек пересечения, то их в принципе можно было б найти и так, и указать в ответе явно: $(x_0,y_0)...(x_n,y_n)$.
Но когда множество этих пар бесконечно, и они составляют некую часть плоскость, то решение этих неравенств подразумевает именно графическое представление.

В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},графическим способом я нашел лишь плоскость в которой находятся эти числа а сам ответ не понимаю как получить

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение17.03.2012, 00:24 
makc в сообщении #549122 писал(а):
В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},
Значит было условие на целочисленость, которое Вы пропустили.

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение17.03.2012, 02:41 
Shadow в сообщении #549180 писал(а):
makc в сообщении #549122 писал(а):
В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},
Значит было условие на целочисленость, которое Вы пропустили.

Скорее всего, у топикстартера ошибка в условии. Решение данной системы - пустое множество.
Что указанный ответ не является решением, легко проверить. Но и других решений нет.

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение17.03.2012, 06:17 
Shadow в сообщении #549180 писал(а):
makc в сообщении #549122 писал(а):
В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},
Значит было условие на целочисленость, которое Вы пропустили.

Да это я действительно пропустил в ответе требуются целочисленные решения

-- 17.03.2012, 07:19 --

spaits в сообщении #549203 писал(а):
Shadow в сообщении #549180 писал(а):
makc в сообщении #549122 писал(а):
В том то и дело что в ответе даны 2 пары чисел {(-5;20);(-5;21)},
Значит было условие на целочисленость, которое Вы пропустили.

Скорее всего, у топикстартера ошибка в условии. Решение данной системы - пустое множество.
Что указанный ответ не является решением, легко проверить. Но и других решений нет.

Данные точки находятся в общей плоскости решения,и при подстановке все прекрасно получается

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение17.03.2012, 06:42 
makc, после того, как Вы нарисовали картинку и примерно прикинули, где могут находиться эти самые целые точки $(x,y)$, можно рассуждать так. Предположим, что $x \geqslant -4$. Тогда некоторые неравенства системы будут противоречить друг другу (укажите их и докажите, что они противоречивы). Значит, $x<-4$. Теперь предположим, что $x \leqslant -6$. И в этом случае некоторые неравенства системы окажутся противоречивыми (докажите и это). Поэтому должно быть $x>-6$. Таким образом, $-6<x<-4$. Но тогда $x=...$. А значит, $y=...$.

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение17.03.2012, 07:12 
Аватара пользователя
Каждая из трёх кривых (приведённых к виду $f(x,y)=0$) делит плоскость на две части постоянства знаков функции $f$. Достаточно ткнуть в любую точку (например в начало координат), вычислить знаки трёх функций и эти знаки скажут, через какие границы надо перепрыгнуть, чтобы получить требуемые знаки.

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение17.03.2012, 12:19 
makc в сообщении #549214 писал(а):
Данные точки находятся в общей плоскости решения,и при подстановке все прекрасно получается

Да, я ошиблась.
Теперь решала графически. Если не увеличить масштаб, то выбрать целочисленные значения по графику действительно трудно. Но точек две, как в ответе.
Я видела похожую, из задач ЕГЭ пятилетней давности.

-- Сб мар 17, 2012 10:22:38 --

nnosipov в сообщении #549216 писал(а):
makc, после того, как Вы нарисовали картинку и примерно прикинули, где могут находиться эти самые целые точки $(x,y)$, можно рассуждать так. Предположим, что $x \geqslant -4$. Тогда некоторые неравенства системы будут противоречить друг другу (укажите их и докажите, что они противоречивы). Значит, $x<-4$. Теперь предположим, что $x \leqslant -6$. И в этом случае некоторые неравенства системы окажутся противоречивыми (докажите и это). Поэтому должно быть $x>-6$. Таким образом, $-6<x<-4$. Но тогда $x=...$. А значит, $y=...$.

Спасибо, такой способ - наилучший.

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение17.03.2012, 15:25 
nnosipov в сообщении #549216 писал(а):
makc, после того, как Вы нарисовали картинку и примерно прикинули, где могут находиться эти самые целые точки $(x,y)$, можно рассуждать так. Предположим, что $x \geqslant -4$. Тогда некоторые неравенства системы будут противоречить друг другу (укажите их и докажите, что они противоречивы). Значит, $x<-4$. Теперь предположим, что $x \leqslant -6$. И в этом случае некоторые неравенства системы окажутся противоречивыми (докажите и это). Поэтому должно быть $x>-6$. Таким образом, $-6<x<-4$. Но тогда $x=...$. А значит, $y=...$.

Спасибо большое,только единственное хотел спросить нужно найти границы области решения,и затем просто подбирать внутри них все целочисленные?

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение17.03.2012, 16:16 
Можно даже не строить графики:сложим 1-е и 3-е неравенства,получим $x\leq -4.8$,а если сложить 2-е и 3-е неравенства,то найдем,что $x\geq -2-\sqrt {13}$,отсюда $x=-5$.

 
 
 
 Re: Система из 3 неравенств
Сообщение17.03.2012, 17:03 
mihiv в сообщении #549350 писал(а):
Можно даже не строить графики:сложим 1-е и 3-е неравенства,получим $x\leq -4.8$,а если сложить 2-е и 3-е неравенства,то найдем,что $x\geq -2-\sqrt {13}$,отсюда $x=-5$.

Спасибо огромное,так действительно намного проще)

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group