Определение отображения мноежств, группы и т.д.

[xmaister]

Пусть заданы множества $X,Y$ и $f:X\to Y$. Почему отображение $f$ определяется как $\langle X,G,Y\rangle$, $G\subset X\times Y$, такое что $G=\{\langle x,y\rangle|y=fx\}$. Я всегда воспринимал отображение, как некоторое правило, по которому элементу из $X$ ставится в соответствие некоторый элемент из $Y$. А тут какая-то упорядоченная тройка, которую не знаю как определить и теперь уже совсем не понятно, как с таким определением работать. Хотелось бы посмотреть на примеры. В Куратовском-Мостовском дано определение упорядоченной пары $\langle x,y\rangle=\{\{x\},\{x,y\}\}$, про тройку ничего там не нашёл. Если понимать, что $\langle x,y,z\rangle=\langle x,\langle y,z\rangle\rangle$, тогда $\langle x,y,z\rangle=\{\{x\},\{x,\langle y,z\rangle\}\}=\{\{x\},\{x,\{\{y\},\{y,z\}\}\}\}$, как-то страшно выглядит.

Аналогичный вопрос про группы. Я всегда понимал, что группа- множество с операцией, удовлетворяющей аксиомам группы. А теперь дали, что группа- это упорядоченная пара $\langle A,f\rangle$, $A$- множество. $f: A\times A\to A$, удовлетворяющая аксиомам групп. Вопрос тот же: как с такой штукой работать? И ещё: зачем все эти определения такие нужны вообще, мне было достаточно и интуитивного восприятия этих вещей. К чему такая строгость? Есть ли какое-нибудь более общее определние для множества с некоторой заданной на ней структурой? Может что-то типа $\langle A,g\rangle$. Но тогда возникает вопрос, как определить, например, сначала определить группу $\langle A,f\rangle$, а потом ввести на этой штуке топологию, получается типа $\langle\langle A,f\rangle,\tau\rangle\rangle$. Так что-ли?

[VAL]

xmaister в сообщении #549330 писал(а):

Аналогичный вопрос про группы. Я всегда понимал, что группа- множество с операцией, удовлетворяющей аксиомам группы. А теперь дали, что группа- это упорядоченная пара $\langle A,f\rangle$, $A$- множество. $f: A\times A\to A$, удовлетворяющая аксиомам групп.

А в чем Вы видите принципиальное расхождение между тем, что Вы понимали раньше, и тем, что сказано в этом определении?

Цитата:

Вопрос тот же: как с такой штукой работать?

Как с группой

Цитата:

И ещё: зачем все эти определения такие нужны вообще, мне было достаточно и интуитивного восприятия этих вещей. К чему такая строгость?

Иногда такой подход позволяет взглянуть на вещи с более общих позиций. (А иногда призван продемонстрировать крутость лектора или автора учебника )

Что касается определения отображения, то у Вас, IMHO, определено не отображение, а соответствие. Чтобы оно стало отображением, надо наложить на G кое-какие ограничения.

[xmaister]

VAL в сообщении #549336 писал(а):

А в чем Вы видите принципиальное расхождение между тем, что Вы понимали раньше, и тем, что сказано в этом определении?

Проблема в том, что я сходств не вижу вообще никаких. Только абстрактную упорядоченную тройку и пару соответсвенно. $\langle X,G,Y\rangle$- упорядоченная тройка, а я даже определения её не знаю. А $\langle A,f\rangle=\{\{A\},\{A,f\}\}$ по определению.

VAL в сообщении #549336 писал(а):

Иногда такой подход позволяет взглянуть на вещи с более общих позиций.

С каких? В какой области это применяется и как этот формализм работает? А какое условие надо на $G$ наложить? У нас такое определение давалось.

[Padawan]

Основными являются понятия упорядоченной пары, декартова произведения и отношения.
Отношением (или соответствием) на паре (в обычном, нематематическом смысле) множеств $X$, $Y$ называется подмножество их декартова произведения $P\subset X\times Y$. Областью определения отношения $P$ называется множество $\operatorname{dom} P=\{x\in X\mid \text{существует } y\in Y \text{ такое, что }} (x,y)\in P\}$. Областью значений отношения $P$ называется множество $\operatorname{rng} P=\{y\in Y\mid \text{существует } x\in X \text{ такое, что }} (x,y)\in P\}$. Отношение $P$ называется функцией, если из $(x,y_1), (x,y_2)\in P$ следует $y_1=y_2$. Обозначается $P\colon \operatorname{dom} P\to Y$. Просто отношения также называются многозначными функциями.

То есть функция отождествляется со своим графиком. Это удобно. Можно графики сравнивать, объединять, пересекать и т.д. Например $f\subset g$ означает, что функция $g$ является продолжением функции $f$ на более широкую область определения.

Когда уже введено понятие функции, понятие тройки $(x,y,z)$ можно определить как функцию $\{(1,x),(2,y),(3,z)\}\subset \{1,2,3\}\times \{x,y,z\}$

[xmaister]

Padawan
Т.е. никаких упорядоченных троек и не нужно для определения функции. Просто подмножество $X\times Y$ со свойством:

Padawan в сообщении #549341 писал(а):

$(x,y_1), (x,y_2)\in P$ следует $y_1=y_2$

?
А как быть с группами? Определение группы- $\langle A,f\rangle$, $f: A\times A\to A$, удовлетворяющая аксиомам группы. Или я опять заблуждаюсь? Если так, то как тогда в таком же стиле дать определение прямого произведения например?

[VAL]

xmaister в сообщении #549337 писал(а):

VAL в сообщении #549336 писал(а):

А в чем Вы видите принципиальное расхождение между тем, что Вы понимали раньше, и тем, что сказано в этом определении?

Проблема в том, что я сходств не вижу вообще никаких. Только абстрактную упорядоченную тройку и пару соответсвенно.

Цитирую Вас:

Цитата:

группа- множество с операцией, удовлетворяющей аксиомам группы.
[...]
группа- это упорядоченная пара $\langle A,f\rangle$, $A$- множество. $f: A\times A\to A$, удовлетворяющая аксиомам групп

И как же вы не видите сходства?
Во втором определении $A$ - это то самое множество, о котором говорится в первом определении. А $f$ - та самая (бинарная) операция.

Цитата:

$\langle X,G,Y\rangle$- упорядоченная тройка, а я даже определения её не знаю.

Вы сами себе противоречите. То жалуетесь, на излишний формализм в опеределениях. А то требуете еще более жуткого формализма.
Разумеется, если излагать все на строго аксиоматической теоретико множественной основе, то надо и упорядоченную тройку определять.
Но я не верю, что вы не понимаете, что это такое на интуитивном уровне. Про формальное определение достаточно знать, что оно существует и описывает объект, не отличающийся от того, который вы себе представляете интуитивно.

Цитата:

VAL в сообщении #549336 писал(а):

Иногда такой подход позволяет взглянуть на вещи с более общих позиций.

С каких? В какой области это применяется и как этот формализм работает?

Да мало ли...
В основаниях математики.
В формальной логике.
В универсальной алгебре. Кстати, там часто определяют группу по-другому. Сигнатура может состоять из нескольких операций: одной бинарной (как и раньше); одной унарной (взятие обратного) и одной нулярной (выделение нейтрального элемента). Возникающее при этом понятие группы, разумеется, равносильно тем, к которым приводят первые два (а по существу один) подхода.

Цитата:

А какое условие надо на $G$ наложить? У нас такое определение давалось.

Как минимум однозначность, о которой написал Padawan. Иногда добавляют еще и всюду определенность (это когда $Dom(P) = X$).

[ewert]

VAL в сообщении #549378 писал(а):

Иногда добавляют еще и всюду определенность (это когда $Dom(P) = X$).

Это, вообще говоря, невыгодно: слишком уж часто приходится работать с функциями, действующими из одного и того же пространства, но определёнными не на всём пространстве, а на разных его частях, одновременно.

[VAL]

ewert в сообщении #549381 писал(а):

VAL в сообщении #549378 писал(а):

Иногда добавляют еще и всюду определенность (это когда $Dom(P) = X$).

Это, вообще говоря, невыгодно: слишком уж часто приходится работать с функциями, действующими из одного и того же пространства, но определёнными не на всём пространстве, а на разных его частях, одновременно.

Согласен. Бывает невыгодно. А бывает и выгодно. Поэтому и возникает "Иногда".

[xmaister]

VAL в сообщении #549378 писал(а):

Но я не верю, что вы не понимаете, что это такое на интуитивном уровне.

На интуитивном уровне представление имею.

Когда у нас читали лекции по алгебре, группа определялась как множество с групповой операцией. Ни про какие упорядоченные пары, тройки и т.д. нам не рассказывали. А $\langle A,f\rangle$- всё таки двухэлементное множество. И к тому же, почему в определении берётся именно упорядоченная пара? Если взять не упорядоченную пару $\{\{A\},f\}$ от этого что-то поменяется?

[VAL]

xmaister в сообщении #549386 писал(а):

VAL в сообщении #549378 писал(а):

Но я не верю, что вы не понимаете, что это такое на интуитивном уровне.

На интуитивном уровне представление имею.

Вот и отлично. На него и опирайтесь.

Цитата:

Когда у нас читали лекции по алгебре, группа определялась как множество с групповой операцией. Ни про какие упорядоченные пары, тройки и т.д. нам не рассказывали.

Они присутствовали в неявном виде.

Цитата:

А $\langle A,f\rangle$- всё таки двухэлементное множество.

Разумеется. Только первый элемент сам является непустым множеством, а второй - бинарной операцией, заданной на этом множестве.

Цитата:

И к тому же, почему в определении берётся именно упорядоченная пара? Если взять не упорядоченную пару $\{\{A\},f\}$ от этого что-то поменяется?

Как это?! То ли операция задана на множестве, то ли множество на операции?!
Ведь второй элемент пары - это операция заданная на множестве. Т.е. множество (первый элемент) уже должен быть задан задан, когда мы говорим о втором.

[xmaister]

VAL в сообщении #549394 писал(а):

То ли операция задана на множестве, то ли множество на операции?!

Аааа, так вот в чем соль. Т.е. упорядоченная пара всего лишь формальное описание группы, а работать с ней можно как и раньше? Получается, что таким же образом можно задать и любое множество $A$ с заданной на ней структурой $g$ в виде упорядоченной пары $\langle A,g\rangle$?
VAL
Padawan
Огромное вам спасибо.