Система равенств. Найти X

[magrif]

Найти Х, решив систему:
$\begin{cases} A \bigcap X=C \bigcap X\\ B \bigcap X=A \bigcap X \end{cases}$
Препод гооворил, что надо уравнение преобразовывать к виду $A \bigcap X \bigcup B \bigcap \bar{X}= \varnothing$ . Я так преобразовал системку:
$\begin{cases} A \bigcup (X \bigcap \bar{X}) \bigcap X=C \bigcup (X \bigcap \bar{X}) \bigcap X\\ B \bigcup (X \bigcap \bar{X}) \bigcap X=A \bigcup (X \bigcap \bar{X}) \bigcap X\\ \end{cases}$
Иксы образуют пустое множество и получаем
$\begin{cases} A =C \\ B =A \end{cases}$
Откуда следует что $A=B=C$
Поэтому нашу самую первую систему преобразуем к виду
$\begin{cases} A \bigcap X \bigcup C \bigcap \bar{X}= \varnothing \\ B \bigcap X \bigcup A \bigcap \bar{X}= \varnothing \end{cases}$
Тем же способом преобразовываем нашу систему к виду
$\begin{cases} A \bigcup C = \varnothing \\ B \bigcup A = \varnothing \end{cases}$
Т.е. $A=B=C=\varnothing$ ? А как X наш найти? Или я как то не тем путем пошел? Расскажите пожалуйста.

[Cash]

Цитата:

$\begin{cases} A \bigcup (X \bigcap \bar{X}) \bigcap X=C \bigcup (X \bigcap \bar{X}) \bigcap X\\ B \bigcup (X \bigcap \bar{X}) \bigcap X=A \bigcup (X \bigcap \bar{X}) \bigcap X\\ \end{cases}$

Вы не верно преобразовали исходные уравнения.
Правильно будет $(A \bigcup (X \bigcap \bar{X})) \bigcap X=(C \bigcup (X \bigcap \bar{X})) \bigcap X$
(это, правда, ни к чему не приводит)
Для проверки лучше всего пользоваться аналогией
$\bigcup$ - это "сложение" - меняем на $+$
$\bigcap$ - это "умножение" - меняем на $\cdot$

Уравнение $A \bigcap X \bigcup B \bigcap \bar{X}= \varnothing$ точно не следует из системы, поскольку из него следует, что $A \bigcap X = \varnothing$, что явно не всегда верно.

[Cash]

Из первого равенства следует что
$\varnothing = \bar{A}\cap A \cap X=\bar{A}\cap B \cap X$
Аналогично "умножается" на $\bar{B}$
Совмещаем оба условия, получим условие
$X \cap Z = \varnothing$, где $Z$ выражается через $A$ и $B$
откуда $X \subset \bar{Z}$
Упрощаем и проверяем, что это решение полностью удовлетворяет исходному уравнению.
Выписываем далее решение 2-го уравнения.
Совмещаем и получаем ответ.
Если не наврал, то
$X \subset A \cap B \cap C \bigcup \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}$

[Профессор Снэйп]

Cash в сообщении #550710 писал(а):

Если не наврал, то
$X \subset A \cap B \cap C \bigcup \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}$

Да нет, не наврали. Только этот ответ очевиден сразу, без всяких выкладок. Система решается методом "пристального вглядывания". В самом деле, о чём в ней говорится? А говорится в ней о том, что любой элемент множества $X$, принадлежащий хотя бы одному из множеств $A, B, C$, принадлежит и двум другим! То есть любой элемент $X$ либо принадлежит всем трём множествам сразу, либо ни одному из этих трёх множеств.

(Оффтоп)

Использование "большого" объединения в данном случае не оправдано. Это вообще не бинарная операция, если чо. Лучше было бы расставить скобки и записать ответ в виде $X \subseteq (A \cap B \cap C) \cup (\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C})$. Другое мелкое замечание: Вы различаете знаки $\subset$ и $\subseteq$? Если различаете, то ответ с первым знаком неверен.

[Cash]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп
Спасибо, учтем на будущее. Большое объединение действительно поставил для читабельности. Со скобками и выглядит приятнее.