Поглощающие граничные условия

[Suvorov.as]

Из своего опыта по гидроакустике знаю, что все теории построения подобных условий (в жидкости) сводятся к наиболее приемлемому представлению нормальной производной давления в текущем узле границы :
- либо через значения давления в текущем и других узлах границы
- либо через значения давления в текущем узле и производных по касательным к границе

Чем точнее вы знаете под каким углом к границе должна выходить волна и какая форма фронта, тем точнее вы можите описать граничные условия при минимальных вычислительных затратах.

Допустим я вообще не знаю в каком направлении у меня будут расходиться волны, но при этом хочу получить очень точный результат. Используя метод граничных элементов я могу связать нормальные производные давления и собственно давление во всех точках границы. При этом получится плотно заполненная матрица, которая будет точно описывать условия абсорбции но при этом создавать вычислительные трудности из-за своего плотного заполнения.

Допустим я забил на точность и хочу что-то посчитать в нулевом приближении. Тогда можно просто связать нормальную производную P с самим P
Положив в нулевом приближении, что через границу x=0 проходит плоская волна в которой P=exp(-ikx), я могу выразить Px как Px=-ikP, что и будет граничным условием в нулевом приближении.

Естественно, что все это написано для Гельмгольца. Но для волнового уравнения смысл не меняется. Появляются лишь производные по времени.

[Anar Yusifov]

Спасибо.
Я всё лучше и лучше понимаю проблемму...
Условия на границе должны описывать процесс беспрепятственного распространения волны пока ещё неизвестной формы. Но чтобы знать эту форму - нужно решить само уравнение и распространить решение на границе, что приводит нас к изначальной проблемме...
Вы сказали, что эту замкнутую ситуацию можно представить в виде "очень плотной матрицы".
Не могли бы вы пояснить процесс построения этой матрицы для какого-либо уравнения (где вам будет проще). Или же просто подскажить статью для начинающего в этой области - мне было бы полезно оценить ожидающие меня трудности при планировании своей работы.

Что касается забить на точность - то я видел подобные методики в случае операторных методов решения волнового уравнения и получение неискажённой картинки в этих случаях требуют недюженной интуиции в каждом конкретном наборе данных. Мне же хотелось по возможности автоматизировать этот процесс жертвуя скоростью и оперативной памятью (через полтора года у меня в распоряжении будут в 2 раза более совершенные компьютеры), но выигрывая в унивирсальности.

[Munin]

Suvorov.as в сообщении #548367 писал(а):

Естественно, что все это написано для Гельмгольца. Но для волнового уравнения смысл не меняется. Появляются лишь производные по времени.

В самом же начале книжки Ильгамова, Гильманова говорится, что для волнового и стационарного уравнений смысл разный: там затухание вдали от источника в разной степени. Или вы Гельмгольцем как-то волны описываете?

[svv]

(Оффтоп)

Anar Yusifov писал(а):

через полтора года у меня в распоряжении будут в 2 раза более совершенные компьютеры

Закон Мура?

[Suvorov.as]

Munin в сообщении #548443 писал(а):

В самом же начале книжки Ильгамова, Гильманова говорится, что для волнового и стационарного уравнений смысл разный: там затухание вдали от источника в разной степени. Или вы Гельмгольцем как-то волны описываете?

Конечно волны.
Стационарные течения описываются уравнением Лапласа или Пуассона производная от фундаментального решения которых (в гидродинамике - это скорость жидкости) уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния.

А уравнение Гельмгольца имеет фундаментальные решения в виде двух стационарных бегущих волн: сферической сходящейся и сферической расходящейся. Производная от решения (В акустике - колебательная скорость жидкости) в данном случае будет уменьшатся обратно пропорционально расстоянию. Точно такой же порядок уменьшения амплитуды получается по волновому уравнению.

И да простят меня любители точных математических формулировок, но уравнение Гельмгольца как раз и получается из волнового, если положить зависимость процессов от времени как exp(iwt), где w - циклическая частота.

[Suvorov.as]

Anar Yusifov в сообщении #548397 писал(а):

Вы сказали, что эту замкнутую ситуацию можно представить в виде "очень плотной матрицы".

Не очень плотной, а просто плотной.
С точки зрения вычислительной математики, есть два основных типа матриц: плотные (все элементы квадратной матрицы отличны от нуля) и разреженные (в матрице много нулевых элементов)
Для решения СЛАУ в которых они фигурируют в левой части применяют разные алгоритмы решения.

Так вот МКЭ дает разреженные матрицы большого размера, а МГЭ дает маленькие матрицы но плотные.

Про алгоритмы МГЭ можно почитать в Бреббия. Методы граничных элементов.
Речь там правда идет не про поглащающие границы, а в основном про стандартные ГУ типа Неймана ...

Могу предположить, что в случае нелинейной задачи с этим методом могут возникнуть трудности, поскольку он базируется на фундаментальных решениях, а если у вас через границу должна пройти нелинейная волна, то все может усложниться.

[Anar Yusifov]

Хорошо. С МКЭ я знаком, а вот МГЭ никогда не читал, хотя и слышал про него.
Нашёл в добавок ещё и эту книгу: "Беннерджи П., Баттерфилд Р. ( Banerjee P.K., Butterfield R. ) Методы граничных элементов в прикладных науках".
Да, и я не очень уверен, что МГЭ подойдёт в общем случае.
Надо это направление прострелять...

Позвольт подвести промежуточный итог:
- Методы аппрокстимации фронта волны на границе изходя из простых соображений.
- Методы PML, которые как я понял, дают приближённое решение с полным поглощением на границе
- Методы МКЭ, применение которых в этой задаче пока для меня туманно
- Методы МГЭ, применение которых вообще пока не определено
- Естественно, каждую из этих задач в некоторых условиях можно свести к уравнению Гельмгольца, что свободно от производной по времени и задача становиться численно более устойчивой.

Что ещё можно предложить?

[Suvorov.as]

По поводу МКЭ можно почитать здесь

Расчет бистатической силы цели сложных многорезонансных оболочек методом конечных элементов

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2011, том 57, № 5, с. 709–716

[Anar Yusifov]

Спасибо. Я попрошу своих друзей из академии достать мне эту статью.

[Munin]

Suvorov.as в сообщении #548460 писал(а):

А уравнение Гельмгольца имеет фундаментальные решения в виде двух стационарных бегущих волн: сферической сходящейся и сферической расходящейся.

Чё-то я совсем потерял нить. Могу я вас попросить написать уравнение Гельмгольца и одно из этих фундаментальных решений? Я думал, что уравнение Гельмгольца даёт потенциал Юкавы, и всё.

Формулы на форуме пишутся как в TeX (La и даже местами, кажется, AMS), и даже окружаются просто долларами. E. g. $\exp(i\omega t)$

[Suvorov.as]

Ну вот блин. Придется еще и ТеХ изучать. ))

Как записать лапласиан?

Короче, Лапласиан от функции плюс квадрат волнового числа, умноженный на саму функцию

[svv]

Вот так:
$\Delta u + k^2 u=0$
И сразу попытаюсь предварить следующий вопрос:
$u=\dfrac{e^{\pm ikr}} r$

[Anar Yusifov]

Более подробно здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%93%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0

[Munin]

Да, чё-то я всё перепутал. Спасибо. На всякий случай, $\Delta u-k^2u=0$ всё ещё уравнением Гельмгольца называют, или как-то иначе?

TeX (его часть, нужную для формул) изучать очень просто, там всё либо самоочевидно, либо с говорящими названиями.

[svv]

В справочнике Корна уравнение $\Delta u-k^2u=0$ названо "пространственным видом уравнения Клейна-Гордона".