2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение14.03.2012, 20:08 


01/03/12
36
Из своего опыта по гидроакустике знаю, что все теории построения подобных условий (в жидкости) сводятся к наиболее приемлемому представлению нормальной производной давления в текущем узле границы :
- либо через значения давления в текущем и других узлах границы
- либо через значения давления в текущем узле и производных по касательным к границе

Чем точнее вы знаете под каким углом к границе должна выходить волна и какая форма фронта, тем точнее вы можите описать граничные условия при минимальных вычислительных затратах.

Допустим я вообще не знаю в каком направлении у меня будут расходиться волны, но при этом хочу получить очень точный результат. Используя метод граничных элементов я могу связать нормальные производные давления и собственно давление во всех точках границы. При этом получится плотно заполненная матрица, которая будет точно описывать условия абсорбции но при этом создавать вычислительные трудности из-за своего плотного заполнения.

Допустим я забил на точность и хочу что-то посчитать в нулевом приближении. Тогда можно просто связать нормальную производную P с самим P
Положив в нулевом приближении, что через границу x=0 проходит плоская волна в которой P=exp(-ikx), я могу выразить Px как Px=-ikP, что и будет граничным условием в нулевом приближении.

Естественно, что все это написано для Гельмгольца. Но для волнового уравнения смысл не меняется. Появляются лишь производные по времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение14.03.2012, 21:03 


12/05/05
60
Baku
Спасибо.
Я всё лучше и лучше понимаю проблемму...
Условия на границе должны описывать процесс беспрепятственного распространения волны пока ещё неизвестной формы. Но чтобы знать эту форму - нужно решить само уравнение и распространить решение на границе, что приводит нас к изначальной проблемме...
Вы сказали, что эту замкнутую ситуацию можно представить в виде "очень плотной матрицы".
Не могли бы вы пояснить процесс построения этой матрицы для какого-либо уравнения (где вам будет проще). Или же просто подскажить статью для начинающего в этой области - мне было бы полезно оценить ожидающие меня трудности при планировании своей работы.

Что касается забить на точность - то я видел подобные методики в случае операторных методов решения волнового уравнения и получение неискажённой картинки в этих случаях требуют недюженной интуиции в каждом конкретном наборе данных. Мне же хотелось по возможности автоматизировать этот процесс жертвуя скоростью и оперативной памятью (через полтора года у меня в распоряжении будут в 2 раза более совершенные компьютеры), но выигрывая в унивирсальности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение14.03.2012, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Suvorov.as в сообщении #548367 писал(а):
Естественно, что все это написано для Гельмгольца. Но для волнового уравнения смысл не меняется. Появляются лишь производные по времени.

В самом же начале книжки Ильгамова, Гильманова говорится, что для волнового и стационарного уравнений смысл разный: там затухание вдали от источника в разной степени. Или вы Гельмгольцем как-то волны описываете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение14.03.2012, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10893
Crna Gora

(Оффтоп)

Anar Yusifov писал(а):
через полтора года у меня в распоряжении будут в 2 раза более совершенные компьютеры
Закон Мура? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 06:24 


01/03/12
36
Munin в сообщении #548443 писал(а):
В самом же начале книжки Ильгамова, Гильманова говорится, что для волнового и стационарного уравнений смысл разный: там затухание вдали от источника в разной степени. Или вы Гельмгольцем как-то волны описываете?


Конечно волны.
Стационарные течения описываются уравнением Лапласа или Пуассона производная от фундаментального решения которых (в гидродинамике - это скорость жидкости) уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния.

А уравнение Гельмгольца имеет фундаментальные решения в виде двух стационарных бегущих волн: сферической сходящейся и сферической расходящейся. Производная от решения (В акустике - колебательная скорость жидкости) в данном случае будет уменьшатся обратно пропорционально расстоянию. Точно такой же порядок уменьшения амплитуды получается по волновому уравнению.

И да простят меня любители точных математических формулировок, но уравнение Гельмгольца как раз и получается из волнового, если положить зависимость процессов от времени как exp(iwt), где w - циклическая частота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 07:45 


01/03/12
36
Anar Yusifov в сообщении #548397 писал(а):
Вы сказали, что эту замкнутую ситуацию можно представить в виде "очень плотной матрицы".


Не очень плотной, а просто плотной.
С точки зрения вычислительной математики, есть два основных типа матриц: плотные (все элементы квадратной матрицы отличны от нуля) и разреженные (в матрице много нулевых элементов)
Для решения СЛАУ в которых они фигурируют в левой части применяют разные алгоритмы решения.

Так вот МКЭ дает разреженные матрицы большого размера, а МГЭ дает маленькие матрицы но плотные.

Про алгоритмы МГЭ можно почитать в Бреббия. Методы граничных элементов.
Речь там правда идет не про поглащающие границы, а в основном про стандартные ГУ типа Неймана ...

Могу предположить, что в случае нелинейной задачи с этим методом могут возникнуть трудности, поскольку он базируется на фундаментальных решениях, а если у вас через границу должна пройти нелинейная волна, то все может усложниться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 11:15 


12/05/05
60
Baku
Хорошо. С МКЭ я знаком, а вот МГЭ никогда не читал, хотя и слышал про него.
Нашёл в добавок ещё и эту книгу: "Беннерджи П., Баттерфилд Р. ( Banerjee P.K., Butterfield R. ) Методы граничных элементов в прикладных науках".
Да, и я не очень уверен, что МГЭ подойдёт в общем случае.
Надо это направление прострелять...

Позвольт подвести промежуточный итог:
- Методы аппрокстимации фронта волны на границе изходя из простых соображений.
- Методы PML, которые как я понял, дают приближённое решение с полным поглощением на границе
- Методы МКЭ, применение которых в этой задаче пока для меня туманно
- Методы МГЭ, применение которых вообще пока не определено
- Естественно, каждую из этих задач в некоторых условиях можно свести к уравнению Гельмгольца, что свободно от производной по времени и задача становиться численно более устойчивой.

Что ещё можно предложить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 16:37 


01/03/12
36
По поводу МКЭ можно почитать здесь

Расчет бистатической силы цели сложных многорезонансных оболочек методом конечных элементов

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2011, том 57, № 5, с. 709–716

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 16:52 


12/05/05
60
Baku
Спасибо. Я попрошу своих друзей из академии достать мне эту статью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Suvorov.as в сообщении #548460 писал(а):
А уравнение Гельмгольца имеет фундаментальные решения в виде двух стационарных бегущих волн: сферической сходящейся и сферической расходящейся.

Чё-то я совсем потерял нить. Могу я вас попросить написать уравнение Гельмгольца и одно из этих фундаментальных решений? Я думал, что уравнение Гельмгольца даёт потенциал Юкавы, и всё.

Формулы на форуме пишутся как в TeX (La и даже местами, кажется, AMS), и даже окружаются просто долларами. E. g. $\exp(i\omega t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 19:11 


01/03/12
36
Ну вот блин. Придется еще и ТеХ изучать. ))

Как записать лапласиан?

Короче, Лапласиан от функции плюс квадрат волнового числа, умноженный на саму функцию

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10893
Crna Gora
Вот так:
$\Delta u + k^2 u=0$
И сразу попытаюсь предварить следующий вопрос:
$u=\dfrac{e^{\pm ikr}} r$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 20:21 


12/05/05
60
Baku
Более подробно здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%93%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение15.03.2012, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, чё-то я всё перепутал. Спасибо. На всякий случай, $\Delta u-k^2u=0$ всё ещё уравнением Гельмгольца называют, или как-то иначе?

TeX (его часть, нужную для формул) изучать очень просто, там всё либо самоочевидно, либо с говорящими названиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поглощающие граничные условия
Сообщение16.03.2012, 01:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10893
Crna Gora
В справочнике Корна уравнение $\Delta u-k^2u=0$ названо "пространственным видом уравнения Клейна-Гордона".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group