Вариационное исчисление.

[freedom_of_heart]

Найти минимум функционала.

$F=\displaystyle\int_0^1\dot x^2dt\to \inf $

$x(0)=0$

$x(1)=1$

Почему экстремаль не доставляет минимум функционалу?

Из уравнения Эйлера-Лагранжа имеем

$\ddot x=0$

$x(t)=C_1t+C_2$

$x(0)=C_2=0$

$x(1)=C_1=1$

$x(t)=t$ - экстремаль

$F=\displaystyle\int_0^1\dot x^2dt=\displaystyle\int_0^1dt =1$

Но почему же эта экстремаль не доставляет минимум?

[svv]

Доставляет. А почему Вы подумали, что нет? Потому что минимум получился не 0?
Да, здесь минимум равен 1. Какую функцию, удовлетворяющую граничным условиям, ни подставите в функционал, результат будет всегда больше 1, и только Ваша экстремаль даст 1. Всё правильно.

-- Вт мар 13, 2012 01:13:41 --

Вот, посмотрите, какое можно привести доказательство.
Вы уже нашли экстремаль $t$. Пусть $x(t)=t+u(t)$ -- некоторая другая функция, в общем случае не экстремаль. Тогда $u(t)$ -- это отклонение $x(t)$ от экстремали. Так как $x(0)=0$, $x(1)=1$, то $u(0)=0$, $u(1)=0$. И, самое главное, $\dot x=1+\dot u$. Подставим это в функционал:
$F=\int\limits_0^1(1+\dot u)^2 dt=\int\limits_0^1 dt + 2\int\limits_0^1\dot u dt + \int\limits_0^1 \dot u^2 dt$
Получили три интеграла.
Первый интеграл равен $1$ независимо от $u$, так как $u$ в него не входит.
Второй интеграл равен нулю: $\int\limits_0^1\dot u dt = u(1)-u(0)=0$. Он тоже не зависит от $u$, но уже в силу граничных условий.
А третий интеграл от $u$ зависит. Но так как под интегралом квадрат ($\dot u^2$), то совершенно ясно, что наименьшее значение этого интеграла получится тогда, когда $\dot u$ будет равно нулю. И значение третьего интеграла будет даже в этом лучшем случае нулевое, но никак не отрицательное.
Вывод. Сумма всех трех интегралов не может быть меньше $1$.

[freedom_of_heart]

svv в сообщении #547856 писал(а):

Доставляет. А почему Вы подумали, что нет? Потому что минимум получился не 0?
Да, здесь минимум равен 1. Какую функцию, удовлетворяющую граничным условиям, ни подставите в функционал, результат будет всегда больше 1, и только Ваша экстремаль даст 1. Всё правильно.

Просто это пример разбирался на лекциях, а я не понимаю -- зачем зачем давали потом приращение функционалу

И потом после проеобразований не сделали какого-либо логического вывода.

$\hat x= t$

Дадим приращение функционалу

$$F(\hat {x}+ h)-F\hat x=\displaystyle\int_0^1\Big[(\dot{\hat {x}}+\dot h)^2-\dot{\hat {x}}^2\Big]dt=\displaystyle\int_0^12\dot{\hat {x}}\dot hdt+ \displaystyle\int_0^1\dot h^2dt=\Big[\text{по частям}\Big]=$$

$$=\ddot{\hat {x}}h\Big|_0^1-2\displaystyle\int_0^1\ddot{\hat {x}}hdt+\displaystyle\int_0^1\dot{h}^2dt= \dot{\hat {x}}h\Big|_0^1-2\displaystyle\int_0^1\ddot{\hat {x}}hdt+\displaystyle\int_0^1\hat h^2dt>0$$

Почему приращение больше нуля в самом конце? На чем основан такой вывод. И о чем он говорит. Ведь мы даже не обсудили знак приращения $h$...

-- Вт мар 13, 2012 03:19:45 --

svv в сообщении #547856 писал(а):

Доставляет. А почему Вы подумали, что нет? Потому что минимум получился не 0?
Да, здесь минимум равен 1. Какую функцию, удовлетворяющую граничным условиям, ни подставите в функционал, результат будет всегда больше 1, и только Ваша экстремаль даст 1. Всё правильно.

-- Вт мар 13, 2012 01:13:41 --

Вот, посмотрите, какое можно привести доказательство.
Вы уже нашли экстремаль $t$. Пусть $x(t)=t+u(t)$ -- некоторая другая функция, в общем случае не экстремаль. Тогда $u(t)$ -- это отклонение $x(t)$ от экстремали. Так как $x(0)=0$, $x(1)=1$, то $u(0)=0$, $u(1)=0$. И, самое главное, $\dot x=1+\dot u$. Подставим это в функционал:
$F=\int\limits_0^1(1+\dot u)^2 dt=\int\limits_0^1 dt + 2\int\limits_0^1\dot u dt + \int\limits_0^1 \dot u^2 dt$
Получили три интеграла.
Первый интеграл равен $1$ независимо от $u$, так как $u$ в него не входит.
Второй интеграл равен нулю: $\int\limits_0^1\dot u dt = u(1)-u(0)=0$. Он тоже не зависит от $u$, но уже в силу граничных условий.
А третий интеграл от $u$ зависит. Но так как под интегралом квадрат ($\dot u^2$), то совершенно ясно, что наименьшее значение этого интеграла получится тогда, когда $\dot u$ будет равно нулю. И значение третьего интеграла будет даже в этом лучшем случае нулевое, но никак не отрицательное.
Вывод. Сумма всех трех интегралов не может быть меньше $1$.

Спасибо. Ваши объяснения хорошо поняла. А так всегда нужно доказывать, что экстремаль доставляет минимум или это в каких-то случаях делать не нужно?

[svv]

Вы сделали совершенно то же самое, что и я, только в других обозначениях. У Вас получилось, что если дать экстремали $\hat x$ приращение $h$, то функционал получит приращение
$2\dot{\hat {x}}h\Big|_0^1-2\int_0^1\ddot{\hat {x}}hdt+\int_0^1\dot h^2dt$

Первое слагаемое равно нулю потому, что на концах интервала ($t=0$ и $t=1$) приращение $h$ обращается в нуль (ведь, изменяя функцию $x$, мы всё же не имеем права нарушать граничные условия).

Второе слагаемое равно нулю потому, что найденная Вами экстремаль $\hat {x}$ удовлетворяет уравнению $\ddot{\hat {x}}=0$.

А третье слагаемое нулю в общем случае не равно. Но так как под интегралом квадрат, т.е. функция неотрицательная, то этот интеграл будет нулевым, если $\dot h=0$, и положительным в остальных случаях.

Условие $\dot h=0$ (при том, что $h(0)=h(1)=0$) означает просто, что $h=0$.

Вывод: любое ненулевое отклонение $h$ функции $x$ от экстремали $\hat x$ даст положительное изменение функционала $F$.

freedom_of_heart писал(а):

А так всегда нужно доказывать, что экстремаль доставляет минимум или это в каких-то случаях делать не нужно?

Скорее даже никогда. Такое преобразование (хоть в Вашем варианте, хоть в моем, по сути это одно и то же) нужно сделать один раз в жизни для понимания, после чего пользоваться всякими необходимыми и достаточными признаками того, что экстремаль действительно доставляет минимум (или максимум). Но каковы эти признаки -- вопрос уже не ко мне.

P.S. И, кстати, часто в задании требуется только найти экстремаль как решение уравнения Эйлера, но не доказывать, что она дает экстремум функционала.

freedom_of_heart писал(а):

Ведь мы даже не обсудили знак приращения $h$...

$h$ -- это не число (как в дифференциальном исчислении), а функция, заданная на интервале $[0,1]$. Поэтому мне больше нравится термин "вариация", а не "приращение". Местами (например, при $0<t<0.3$) вариация может быть положительной, местами отрицательной. Но важно то, что любые её "виляния" относительно экстремали только ухудшают дело -- в смысле, только увеличивают функционал. И мы это дважды доказали.

[freedom_of_heart]

Спасибо. Вам метод проще, по частям даже не пришлось интегрировать.

[svv]

Вот здесь пришлось:
$\int\limits_0^1\dot u dt = u(1)-u(0)=0$
Это не выглядит как интегрирование по частям лишь потому, что я подставил явное значение $\hat x=t$, при этом получается $\dot{\hat x}=1$, и интеграл вроде как совсем простой. Но это только в данном случае. Если бы я вернулся к более общей записи $\int\limits_0^1\dot{\hat x}\dot u dt$, надо было бы проинтегрировать по частям, и получилось бы
$\int\limits_0^1\dot{\hat x}\dot u dt=\dot{\hat {x}}u\Big|_0^1-\int_0^1\ddot{\hat {x}}u dt$,
то есть аналогично тому, что у Вас.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

svv в сообщении #547860 писал(а):

Поэтому мне больше нравится термин "вариация", а не "приращение".

Основоположники вариационного исчисления называли ее "деформация"... Как по мне, зря перешли на "вариацию" — все равно как если бы мы стали приращение называть дифференциалом.

[ewert]

Это оффтопик в данной теме, конечно, но знать тоже полезно. Среднее значение квадрата функции по неравенству Коши-Буняковского всегда больше квадрата среднего значения (если только функция не константа). Здесь среднее значение производной равно единице (согласно граничным условиям). Значит, среднее значение квадрата производной всегда больше единицы -- если только производная не константа.