Конечное расширение поля

[Unconnected]

Может, глупость напишу.. но если в ядре не один образующий элемент, а например два, то во втором подпространстве есть минимальный элемент, т.е. минимальная степень у него будет, и не 0 (т.к. евклидово кольцо, берем эл-т с наименьшей нормой). Пусть g - он самый.
$\varphi(hf)=\varphi(g)=\varphi(df+r) - $deg(r)<deg(g)<deg(f)$
\varphi(f) \varphi(h-d)=\varphi(r)=0$, т.е. r - в ядре. Но по предположению, оно может быть только нулём.. (и в первое подпространство не попадает, т.к. степень меньше f, который сам наименьший там).

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #547135 писал(а):

но если в ядре не один образующий элемент, а например два, то

...включается тот факт, что $K[x]$ — кольцо главных идеалов, и образующий элемент там все-таки один, и для его отыскания можно посчитать НОД...

Ну почти, почти. Пусть $g\in\ker\varphi$, т.е. $\varphi(g)=0$. Поделим $g$ на $f$ с остатком: $g=fh+r$, где $\deg r < \deg f = 2$. Тогда $\varphi(g)=\varphi(f)\varphi(h)+\varphi(r)=\varphi(r)=0$. Однако мы уже выяснили, что $\varphi$ от многочлена первой степени нулю равняться не может. Значит, $r$ — константа, но для констант $\varphi(r)=r$, откуда $r=0$ и $g=fh$, т.е. $g\in(f)$, $\ker\varphi\subset(f)$.

Все, хватит на сегодня, продолжим завтра. Спокойной ночи!

P.S. Вы точно из Санкт-Петербурга?

[Unconnected]

Сейчас перечитываю и думаю, что не сюрьективность из $R[X] \to C$ доказывал, а что-то другое, т.к. брал за элемент многочлен первой степени, будто в фактор-кольце (а про ядро доказано по-честному)).
$\varphi(\sum_{k=0}^{n}{a_k \cdot x^k})=\sum_{k=0}^{n}{a_k \cdot \varphi(x^k)}=\sum_{k=0}^{n}{a_k \cdot(-f_1+i \cdot \sqrt{f_2})^k
$c+di \in C; c,d$ выражаются видимо, если раскрыть сумму ($i$ там всегда будет).ну тут правда не очень прозрачно, что любому из С есть прообраз.
В общем-то, $-f_1+i \cdot \sqrt{f_2}$ и есть комплексное число ($f_{1,2}$ ведь просто числа), значит задача сводится к тому, чтобы были такие $a_k$, чтобы сумма комплексных с этими коэф-ами была равна нужному..

[Joker_vD]

Unconnected, у меня нет слов. Вы показали, что каждый элемент из $\mathbb C$ имеет прообразом, например, вполне определенный многочлен первой степени — что вам не нравится? Что он именно первой? Что вы не все прообразы нашли? Что было слишком просто, давайте рассматривать случай общего многочлена и ломать себе мозги биномом Ньютона? Нафига?

[Unconnected]

А, в таком контексте да, всё правильно. Просто тогда я рассуждал ещё в категориях фактора.. всё, тут ясно)

Цитата:

если взять канонический гомоморфизм $\psi\colon K[x]\to K[x]/(f)$, то $x$ переходит в корень $f$ (ну, точнее, в корень $\widetilde f\in (K[x]/(f))[x]$, но это мелочи)

Эмм, то есть как это... икс переходит в число? Т.е. многочлен в число?

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #547327 писал(а):

Эмм, то есть как это... икс переходит в число? Т.е. многочлен в число?

Нет, $x$ переходит в $x+(f)$. Однако, если $f=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$, $a_i\in K$, то можно составить $\widetilde f=a_0+(f) + (a_1+(f))t+\dots+(a_n+(f))t^n$, $\widetilde f\in (K[x]/(f))[t]$ (я изменил букву, чтобы вы не запутались). Так вот, $x+(f)$ является корнем этого многочлена, $\widetilde f(x+(f))=0+(f)$:

\begin{multline*}\widetilde f(x+(f))=a_0+(f)+(a_1+(f))(x+(f))+\dots+(a_n+(f))(x+(f))^n =\\= (a_0+(f)+a_1x+(f)+\dots+a_nx^n+(f)) =\\=(a_0+a_1x+\dots+a_nx^n)+(f)=f+(f)=0+(f).\end{multline*}

[Unconnected]

Интереесное кино.. то есть, в $K[X]/<f>$ ($f=x^2+1$) многочлены $3x^3 + 5x^2 + 2x + 1$, $3(x+ x^2+1)^3 + 5(x+ x^2+1)^2 + 2(x+x^2+1) + 1$ и $(3+x^2+1)(x+ x^2+1)^3 + (5+x^2+1)(x+ x^2+1)^2 + (2+x^2+1)(x+x^2+1) + x^2+1$ - лежат в одном классе?
И, вообще, по какому праву икс меняется на $t$? Выходит ведь, $t=x+<f>$, если раскрыть скобки-степени то будет нормальный икс..

[Joker_vD]

Я эти сутки молился, чтобы вы не запутались, но увы...

Давайте я кратко вообще опишу вообще всю ситуацию с этими полями/многочленами: Есть поле $K$, есть кольцо многочленов $K[x]$, и есть какой-то (неприводимый) многочлен $f\in K[x]$ степени выше первой. Мы хотим получить поле $L$, $K\hookrightarrow L$, в котором многочлен $f$ будет иметь корень — но что значит для многочлена из $K[x]$ иметь корень в $L$? Раз $K\hookrightarrow L$, то $K[x]\hookrightarrow L[x]$ и каждый $f\in K[x]$ можно "поднять" до многочлена $\widetilde f\in L[x]$. Вот и будем говорить, что $f$ имеет корень в $L$, если его имеет $\widetilde f$.

В качестве такого $L$ прекрасно подходит (когда $f$ неприводим) поле $K[x]/(f)$, вот почему мы и работаем с факторкольцами — они позволяют нам строить расширения полей практически "из ничего".

Давайте глянем на кольцо $L[x]$, где $L=K[x]/(f)$: это кольцо многочленов от одной переменной, обозначаемой через $x$, коэффициентами у которых служат многочлены от... той же $x$. Это неправильно, что у нас одна и та же буква используется для двух разных вещей, которые сейчас мигом перепутаются. Поэтому нужно где-то вместо $x$ писать, скажем, $t$... или $\alpha$.

Итак, давайте глянем на кольцо $L[t]$, где $L=K[x]/(f)$. Я напомню, что для абстрактного $L$ кольца $L[x]$, $L[y]$, $L[t]$ и т.д. не отличаются вообще ничем, просто неизвестная обозначается по-разному. Теперь берем $f\in K[x]$, $f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$. Поднимем его до $L[t]$: $\widetilde f(t)=[a_0]+[a_1]t+\dots+[a_n]t^n$, где я обозначил фактор-класс, соответствующий $a$, через $[a]$. Будет ли какой-нибудь элемент из $L$ его корнем? Я утверждаю, что да, элемент $[x]$ будет его корнем:

$$\widetilde f([x])=[a_0]+[a_1][x]+\dots+[a_n][x]^n=[a_0+a_1x+\dots+a_nx^n]=[f]=[0].$$

Теперь возвращаемся к самому началу. Мы утверждаем, что если $f\in\mathbb R[x]$ — неприводимый многочлен второй степени, то $L\cong\mathbb C$, где $L=\mathbb R[x]/(f)$. Хорошо, если это так, то:

1) $f$, рассмотренный как многочлен из $\mathbb C[x]$, имеет в $\mathbb C$ два корня — потому что $\mathbb C$ алгебраически замкнуто, мы это уже знаем;
2) Но тогда $f$, рассмотренный как многочлен из $L[x]$, также должен иметь в $L$ два корня — потому что $\mathbb C$ и $L$ изоморфны, они с алгебраической точки зрения ничем совершенно не отличаются.

Третьим пунктом идет знание, что в $\mathbb C$ корнем у $f$ является $x_1$ (или там $-f_1+i\sqrt{f_2}$, или $\frac{-b+i\sqrt{4c-b^2}}{2}$, не суть важно), а в $L$ корнем у $f$ является $x+(f)$. Поэтому при изоморфизме они должны соответствовать друг другу.

Вот и все. Для задания гомоморфизма $K[x]$ куда угодно достаточно задать, куда переходят элементы $K$ (в нашем случае $\mathbb R$ — мы их оставляем на месте), и куда переходит $x$ — мы его отправляем в корень $f$.

[Unconnected]

Огоо

Цитата:

Мы хотим получить поле $L$, $K\hookrightarrow L$

K - ведь минимальное по вложению?

Цитата:

Теперь берем $f\in K[x]$, $f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$. Поднимем его до $L[t]$: $\widetilde f(t)=[a_0]+[a_1]t+\dots+[a_n]t^n$, где я обозначил фактор-класс, соответствующий $a$, через $[a]$

Тогда, получается, иксы вообще пропали без вести? Т.е. их "не подняли".. Хотя в общем-то в определении кольца многочленов икса вообще нет - есть просто последовательности коэффициентов.

Цитата:

$f$, рассмотренный как многочлен из $L[x]$, также должен иметь в $L$ два корня — потому что $\mathbb C$ и $L$ изоморфны, они с алгебраической точки зрения ничем совершенно не отличаются.

Тонкое место, "с алгебраической точки зрения..". Препод обязательно бы спросил, что имеется в виду) Ну главное, что изоморфизм найден, можно его проверить потом.

Цитата:

вот почему мы и работаем с факторкольцами — они позволяют нам строить расширения полей практически "из ничего".

Сначала не догнал, где тут именно расширение.. интересно, получается из одного многочлена нарождается целая куча, с помощью изменения коэффициентов идеалом, а корни те же O_o

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #547796 писал(а):

K - ведь минимальное по вложению?

В смысле, есть ли у $K$ подполя? Ну это от $K$ зависит, а $L$ тут ни при чем.

Unconnected в сообщении #547796 писал(а):

Тогда, получается, иксы вообще пропали без вести? Т.е. их "не подняли".. Хотя в общем-то в определении кольца многочленов икса вообще нет - есть просто последовательности коэффициентов.

Понимаете, когда вы превращаете функцию от икса в функцию от игрека, в результате у вас иксов остаться не должно... Улавливаете? Ну хорошо, вот вам $K[x]$ и $K[t]$, постройте между ними изоморфизм — куда пропадут без вести иксы?

Unconnected в сообщении #547796 писал(а):

Сначала не догнал, где тут именно расширение..

Ну блин, $K\hookrightarrow K[x]/(f)$.

Unconnected в сообщении #547796 писал(а):

получается из одного многочлена нарождается целая куча, с помощью изменения коэффициентов идеалом, а корни те же O_o

?

[Unconnected]

Цитата:

Понимаете, когда вы превращаете функцию от икса в функцию от игрека, в результате у вас иксов остаться не должно... Улавливаете?

Ага, вот тут я тупил, выше где-то было, что

Цитата:

$x$ переходит в $x+(f)$

, видать не так понял.

Цитата:

Ну блин, $K\hookrightarrow K[x]/(f)$.

Расширение - я имел в виду то, что как бы "больше" элементов должно быть...

Цитата:

Цитата:

?

А, всё.. уже ничего не нарождается) Получается, $f$ переходит в один конкретный $\overline{f}$, который не изменится, каких бы представителей коэффициентов не брали.

Так, $\overline{f}$ получается применением к $f$ канонического гомоморфизма. Но, в то же время, сам идеал $<f>$ попадает в $\overline{0}$, да?

[Joker_vD]

Я вижу, у вас есть небольшая путаница. Есть канонический гомоморфизм $K[x]\to K[x]/(f)$. Есть не менее канонический гомоморфизм $K[x]\to (K[x]/(f))[t]\cong (K[t]/(f))[x]\cong (K[y]/(f))[z]\cong\dots$

Второй гомоморфизм неформально (насколько мне известно) называется "подъем коэффициентов": коэффициенты многочлена переводятся из того поля, где они были, в расширение этого поля. Поскольку в теории полей для последовательных расширений давным-давно устоялся термин "башня расширений", все более и более широкие поля мыслятся как бы лежащими выше более узких полей, откуда и название "подъем коэффициентов": они поднимаются на следующий этаж.

Unconnected в сообщении #547804 писал(а):

Расширение - я имел в виду то, что как бы "больше" элементов должно быть...

А что, в $K[x]/(f)$ столько же элементов, сколько и в $K$? У каждого элемента из $K$ есть соответствующий ему элемент из $K[x]/(f)$, причем в $K[x]/(f)$ есть элементы, не соответствующие никаким элементам из $K$ — например, $x+(f)$.

[Unconnected]

Нашёл в старом конспекте пример по теме:
$R[X]/<x^2-1> \simeq R \times R$
Изоморфизм: $ax-b \to (\frac{a-b}{2};\frac{a+b}{2})$
Но $x^2-1$ разложим, и фактор кольцо - не область целостности, разве оно может быть изоморфно C (которое тут $R \times R$)?

[AV_77]

Unconnected в сообщении #547833 писал(а):

Нашёл в старом конспекте пример по теме:
$R[X]/<x^2-1> \simeq R \times R$
Изоморфизм: $ax-b \to (\frac{a-b}{2};\frac{a+b}{2})$
Но $x^2-1$ разложим, и фактор кольцо - не область целостности, разве оно может быть изоморфно C (которое тут $R \times R$)?

$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, которое тут, это не $\mathbb{C}$, а именно декартово произведение, то есть, просто кольцо.

[Unconnected]

Вот почтии ужё всё понял, пара моментов:

Цитата:

Я утверждаю, что да, элемент $[x]$ будет его корнем:

$$\widetilde f([x])=[a_0]+[a_1][x]+\dots+[a_n][x]^n=[a_0+a_1x+\dots+a_nx^n]=[f]=[0].$$

внезапно, икс нарисовался! Это ж, получается, не какое-то конкретное число, а просто.. буква, из предыдущего $R[X]/(f)$.

Цитата:

причем в $K[x]/(f)$ есть элементы, не соответствующие никаким элементам из $K$ — например, $x+(f)$.

Вот что это за загадочный элемент такой? Или, может, имеется в виду (и в предыдущем абзаце про корень) просто многочлен первой степени $1 \cdot x$?
Т.е. получается, что мы уже как бы исходим из того, что построить изоморфизм возможно, и просто указываем, что куда должно перейти.. Вот тут меня тормозило - вроде обычно сначала думал, может ли вообще он быть, по какой-нибудь теореме..