Я эти сутки молился, чтобы вы не запутались, но увы...
Давайте я кратко вообще опишу вообще всю ситуацию с этими полями/многочленами: Есть поле

, есть кольцо многочленов
![$K[x]$ $K[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/0/a20d83b3d0b996bc9ef02e0862d7b0b482.png)
, и есть какой-то (неприводимый) многочлен
![$f\in K[x]$ $f\in K[x]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/2/582894e1024c52f286cd504d300fd84882.png)
степени выше первой. Мы хотим получить поле

,

, в котором многочлен

будет иметь корень — но что значит для многочлена из
![$K[x]$ $K[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/0/a20d83b3d0b996bc9ef02e0862d7b0b482.png)
иметь корень в

? Раз

, то
![$K[x]\hookrightarrow L[x]$ $K[x]\hookrightarrow L[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/6/6e67dbab9eb96ae4a4cb688bfa1b508982.png)
и каждый
![$f\in K[x]$ $f\in K[x]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/2/582894e1024c52f286cd504d300fd84882.png)
можно "поднять" до многочлена
![$\widetilde f\in L[x]$ $\widetilde f\in L[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/3/eb32ca3be504f98a2f47446d5579925382.png)
. Вот и будем говорить, что

имеет корень в

, если его имеет

.
В качестве такого

прекрасно подходит (когда

неприводим) поле
![$K[x]/(f)$ $K[x]/(f)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/6/346a456c742db8b91dc5fc9e2b1e08cc82.png)
, вот почему мы и работаем с факторкольцами — они позволяют нам строить расширения полей практически "из ничего".
Давайте глянем на кольцо
![$L[x]$ $L[x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/5/fd5634744deab37f2f05a204ad93e82f82.png)
, где
![$L=K[x]/(f)$ $L=K[x]/(f)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/4/2e45b966b41d8c48a039aa330cfd18d582.png)
: это кольцо многочленов от одной переменной, обозначаемой через

, коэффициентами у которых служат многочлены от... той же

. Это неправильно, что у нас одна и та же буква используется для двух разных вещей, которые сейчас мигом перепутаются. Поэтому нужно где-то вместо

писать, скажем,

... или

.
Итак, давайте глянем на кольцо
![$L[t]$ $L[t]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/b/93b9f507bbb43a0ac10ad3d3c447133f82.png)
, где
![$L=K[x]/(f)$ $L=K[x]/(f)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/4/2e45b966b41d8c48a039aa330cfd18d582.png)
. Я напомню, что для абстрактного

кольца
![$L[x]$ $L[x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/5/fd5634744deab37f2f05a204ad93e82f82.png)
,
![$L[y]$ $L[y]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/e/80ec2383dff56cc200fbf32bf8fbc48a82.png)
,
![$L[t]$ $L[t]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/b/93b9f507bbb43a0ac10ad3d3c447133f82.png)
и т.д. не отличаются вообще ничем, просто неизвестная обозначается по-разному. Теперь берем
![$f\in K[x]$ $f\in K[x]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/2/582894e1024c52f286cd504d300fd84882.png)
,

. Поднимем его до
![$L[t]$ $L[t]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/b/93b9f507bbb43a0ac10ad3d3c447133f82.png)
:
![$\widetilde f(t)=[a_0]+[a_1]t+\dots+[a_n]t^n$ $\widetilde f(t)=[a_0]+[a_1]t+\dots+[a_n]t^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/e/85e77315f78704f8ce2b097820ab493382.png)
, где я обозначил фактор-класс, соответствующий

, через
![$[a]$ $[a]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/f/e6faf1ef3b2cd6f5098b756495adef3d82.png)
. Будет ли какой-нибудь элемент из

его корнем? Я утверждаю, что да, элемент
![$[x]$ $[x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/1/7e1c4a3a07c941625c2f20c594cb9f7c82.png)
будет его корнем:
![$$\widetilde f([x])=[a_0]+[a_1][x]+\dots+[a_n][x]^n=[a_0+a_1x+\dots+a_nx^n]=[f]=[0].$$ $$\widetilde f([x])=[a_0]+[a_1][x]+\dots+[a_n][x]^n=[a_0+a_1x+\dots+a_nx^n]=[f]=[0].$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/2/c62e0a1a02ea299805a1d17d42f1a68a82.png)
Теперь возвращаемся к самому началу. Мы утверждаем, что если
![$f\in\mathbb R[x]$ $f\in\mathbb R[x]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/c/40c5ba098ca85d0ba6dd5c44ea84080882.png)
— неприводимый многочлен второй степени, то

, где
![$L=\mathbb R[x]/(f)$ $L=\mathbb R[x]/(f)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/e/4ee917b99aa9bc08f421b923b7b76c2b82.png)
. Хорошо, если это так, то:
1)

, рассмотренный как многочлен из
![$\mathbb C[x]$ $\mathbb C[x]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/d/cddc00cbbe3ffeae6c137340536a2e6682.png)
, имеет в

два корня — потому что

алгебраически замкнуто, мы это уже знаем;
2) Но тогда

, рассмотренный как многочлен из
![$L[x]$ $L[x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/5/fd5634744deab37f2f05a204ad93e82f82.png)
, также должен иметь в

два корня — потому что

и

изоморфны, они с алгебраической точки зрения ничем совершенно не отличаются.
Третьим пунктом идет знание, что в

корнем у

является

(или там

, или

, не суть важно), а в

корнем у

является

. Поэтому при изоморфизме они должны соответствовать друг другу.
Вот и все. Для задания гомоморфизма
![$K[x]$ $K[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/0/a20d83b3d0b996bc9ef02e0862d7b0b482.png)
куда угодно достаточно задать, куда переходят элементы

(в нашем случае

— мы их оставляем на месте), и куда переходит

— мы его отправляем в корень

.