Полный разбор парадокса Рассела

[Someone]

aku в сообщении #495743 писал(а):

Г-н Someone пишет "В математике за неявные предположения бьют подсвечниками."
Извините, сударь, я вас чем-то лично обидел в связи с подобными с Вашей стороны предъявами?

А, Вы не поняли, о чём я... Ну, это я так образно выразился. Всякое рассуждение, использующее неявное предположение, в математике автоматически считается ошибочным. Поэтому математики все предположения формулируют явно. Либо в виде аксиом, либо в условии теоремы, либо оговаривают заранее, если эти предположения требуются для многих теорем. Предположение о существовании множества подмножеств исключением не является.

aku в сообщении #495743 писал(а):

Г-н Someone пишет "не забыв сначала точно сформулировать доказываемые утверждения"
А связи с вышеотмеченным неизмеримо благожелательным моим отношением к Вашей персоне
покорнейше прошу уточнить, какой из приведенных 4-пунктов конкретно вы просите уточнить и в каком именно смысле?

Как обычно. Уточняете, в какой именно системе аксиом Вы будете доказывать свои утверждения, точно формулируете эти утверждения и приводите их аккуратные доказательства. Так, как это принято в математике. Что касается разбивки на пункты, то это как Вам будет удобно.

Так к делу перейдёте, или всё ограничится оффтопиком и хамством в мой адрес?

[Nikita Anatolevich]

Уважаемые коллеги! Добрый день.
По поводу "полного разбора парадокса Рассела" моя позиция (и многих моих единомышленников) состоит в следующем.
От парадокса Рассела не нужно "избавляться". Но его нужно понять до конца и впредь учитывать в математических доказательствах ту новую возможность логических ошибок, которая открылась нам при анализе парадокса Рассела.
Неблагополучие в теории множеств, математической логике и теории доказательств, несомненно, есть. Наше представление о неизбежном пути его преодоления состоит в следующем.
1. Детальный анализ парадокса Рассела с выявлением причины противоречия. Его краткий результат: противоречие возникает по нашему произволу.
2. Это противоречие нельзя использовать в доказательствах "от противного". Оно появляется независимо от того, что хотят доказать с его помощью.
Мы готовы дать развернутое изложение указанных положений.

[epros]

Nikita Anatolevich в сообщении #528548 писал(а):

Мы готовы дать развернутое изложение указанных положений.

Для начала приведите математическую формулировку парадокса. Ибо вопрос это многократно обсосанный и изобретательство велосипедов тут ни к чему.

[Nikita Anatolevich]

http://infinyland.blogspot.com/2012/02/blog-post.html

[epros]

Nikita Anatolevich в сообщении #542733 писал(а):

http://infinyland.blogspot.com/2012/02/blog-post.html

В чём именно заключается парадокс?

Да, множество Рассела $R$ определяется формулой:
$\forall x ~ x \in R \leftrightarrow x \notin x$
(и не надо его никак "переопределять"!)

Но почему-то при том определении множества, которое даёт, в частности, аксиоматика Цемерло-Френкеля (википедию, что-ли, гляньте) никакого парадокса отсюда не следует. Почему это?

[korisk]

epros в сообщении #543110 писал(а):

Nikita Anatolevich в сообщении #542733 писал(а):

http://infinyland.blogspot.com/2012/02/blog-post.html

В чём именно заключается парадокс?

Да, множество Рассела $R$ определяется формулой:
$\forall x ~ x \in R \leftrightarrow x \notin x$
(и не надо его никак "переопределять"!)

Но почему-то при том определении множества, которое даёт, в частности, аксиоматика Цемерло-Френкеля (википедию, что-ли, гляньте) никакого парадокса отсюда не следует. Почему это?

Благодаря аксиоме содержательности(выделения)
"$\exists u \forall z ~ (z \in u \leftrightarrow z \in x \wedge \varphi(z) )$, где формула $\varphi(z)$ языка ZF не содержит свободно переменно u."
Вот из-за этой оговорки и не возникает парадокс Рассела в ZF.
Зачем ввели оговорку? Не ради ли уменьшения количества парадоксов?

[Someone]

korisk в сообщении #544042 писал(а):

Вот из-за этой оговорки и не возникает парадокс Рассела в ZF.

Из-за какой "оговорки"? Уточните.

[korisk]

Someone в сообщении #544096 писал(а):

korisk в сообщении #544042 писал(а):

Вот из-за этой оговорки и не возникает парадокс Рассела в ZF.

Из-за какой "оговорки"? Уточните.

Похоже, я погорячился.
Не удалось переформулировать этот парадокс так чтобы в фи(z) появилась u.
Вот другая версия:)
Избежать парадокса Рассела позволяет аксиома регулярности, говорящая, что множества не могут содержать себя.
Тогда эта формула
$\forall x ~ x \in R \leftrightarrow x \notin x$
перестает быть парадоксом и описывает множество всех множеств.

Поправьте если не прав.

[Someone]

korisk в сообщении #544353 писал(а):

Избежать парадокса Рассела позволяет аксиома регулярности, говорящая, что множества не могут содержать себя.

Видите ли, если бы аксиомы регулярности не было и без неё можно было построить противоречие, то с ней тем более противоречие строилось бы. Потому что дополнительная аксиома - это дополнительное средство доказательства и построения множеств. На самом деле противоречия типа парадокса Рассела возникают из-за слишком мощных средств построения множеств в канторовской теории множеств, позволяющих строить объекты типа множества всех множеств: для каждого свойства декларируется существование множества, содержащего все элементы с данным свойством.

[Nikita Anatolevich]

http://infinyland.blogspot.com/2012/03/blog-post.html

[epros]

некто по ссылке: http://infinyland.blogspot.com/2012/03/blog-post.html писал(а):

Уточнение определения множества Рассела при х=R с помощью оговорки «кроме себя» приводит ...

Я же сказал: Не надо менять определения множества Рассела. Ибо тогда это уже будет не множество Рассела.

Пример с прилагательным «нерефлексивное», конечно, замечательный. Только в нём, в отличие от парадокса Рассела, предикат «рефлексивности» не является всюду определённым: У Вас нет общего правила для определения рефлексивности прилагательных (определите-ка мне, например, рефлексивно ли «великолепное»). Так что не надо смешивать мух с котлетами.

[Nikita Anatolevich]

http://infinyland.blogspot.com/2012/03/ ... st_11.html

[epros]

некто по ссылке http://infinyland.blogspot.com/2012/03/ ... st_11.html писал(а):

Определение множества К, оказывается противоречивым, если ему присвоен какой-то номер k, так что К=F(k)

Просто нет номера у такого множества, вот и все дела. Видите ли, НЕ ВСЕ множества натуральных чисел оказываются пронумерованными.

некто по ссылке http://infinyland.blogspot.com/2012/03/ ... st_11.html писал(а):

Но мы знаем, как это было показано в предыдущем письме, противоречивые определения нельзя использовать в доказательствах.

Определение множества всех "внешних" номеров - непротиворечиво.

некто по ссылке http://infinyland.blogspot.com/2012/03/ ... st_11.html писал(а):

Об ошибочности доказательства говорит и до сих пор не разрешенный парадокс Кантора – существование противоречащих примеров для его теоремы

Противоречащие примеры - плизз в студию.

Ёлы-палы, это какой-то детский сад... Не позорились бы, а?

[Nikita Anatolevich]

epros в сообщении #545503 писал(а):

Я же сказал: Не надо менять определения множества Рассела. Ибо тогда это уже будет не множество Рассела.

Не менять, а подправить, чтобы решить поставленную задачу.

Бертран Рассел решил образовать множество по признаку невхождения множества в самого себя. И с удивлением обнаружил, что у получившегося множества R этот признак зависит от того, куда мы поместим это множество R. И притом так, что нет возможности удовлетворить условие принадлежности к R. Задача оказалась неразрешимой, так же как инструкция брадобрею. И если мы поставленную задачу все же хотим решить, то придется подправить условие вхождения в R (так же как инструкцию брадобрею).

В результате исправления определение остается направленным на решение той же задачи: объединить в одну совокупность такие множества, которые сами в себя не входят. Оно остается определением, решающим задачу Рассела, короче, определением Рассела. А без исправления оно годится только разве что в архив.

А разбираться с парадоксами нужно, если мы не хотим иметь ложных теорем.

epros в сообщении #547591 писал(а):

Просто нет номера у такого множества, вот и все дела. Видите ли, НЕ ВСЕ множества натуральных чисел оказываются пронумерованными.

Нумерация, то есть присвоение номера множеству есть действие произвольное. И если, как Вы говорите, , НЕ ВСЕ множества натуральных чисел оказываются пронумерован-ными, то возникает вопрос: а что же мне мешает множеству К дать номер? Ах, тогда получается противоречие? Ну, так это проблема того, кто придумал такое множество, которое оказалось противоречивым по отношению к своему номеру. Все та же неудачная инструкция. Ее тоже нужно подправить, чтобы решить аналогичную задачу: образовать множество внешних номеров. И причина противоречия все та же – наш произвол. А зачем это потребовалось, образовать такое множество? Да все для той же цели: чтобы что-то доказать. Ведь для доказательства нужно противоречие, а где его взять? Вот мы его и построим, глядишь, что-нибудь докажем.

Если ошибку исправить, то исчезает и противоречие, и доказательство.

А если не исправлять, то вместе с противоречием остается только видимость доказательства. Дело в том, что это противоречие появляется независимо от допущения противного. Пусть нет никакой биекции между М и U(M). Противоречие все равно появится, как только будет присвоен номер множеству внешних номеров. Откуда и видно, что ничего это противоречие не доказывает.

epros в сообщении #547591 писал(а):

Противоречащие примеры - плизз в студию.

Да, противоречащих примеров для теоремы Кантора для натурального ряда мы не знаем. А для более экзотических множеств – это большое семейство так называемых антиканторовских множеств. Это прежде всего открытый самим Кантором пример – множество всех множеств. Это, далее, все сверхтранзитивные множества, содержащие в себе в качестве элементов все свои подмножества. Для таких множеств биекция между М и U(M) (или часть этой биекции) имеет вид F(x)=x: каждое подмножество, будучи одновременно элементом, имеет прообразом самого себя.

Все такие множества запрещены аксиомой регулярности. Если будет интерес, можем рассказать о них подробнее.

Из всех контрпримеров самый ядовитый – это контрпример, порождающий главный парадокс теории множеств. http://infinyland.blogspot.com/2012/03/blog-post_18.html

[Joker_vD]

Nikita Anatolevich в сообщении #549823 писал(а):

объединить в одну совокупность такие множества, которые сами в себя не входят

Да давно решена такая задача: NBG. Только не совсем понятно, к чему вообще эта задача. Ну не можем мы объединить эти множества в множество, и что? Небо рухнет? Логика исчезнет?

-- Пн мар 19, 2012 00:09:10 --

Nikita Anatolevich в сообщении #549823 писал(а):

Из всех контрпримеров самый ядовитый – это контрпример, порождающий главный парадокс теории множеств. http://infinyland.blogspot.com/2012/03/ ... st_18.html

Не понял... что за условие принадлежности? Удовлетворяет ли ему само $\mathbb N$?