Вопросы, связанные с ОДЗ

[Fanday]

Цитата:

Я бы сделал так. Правая часть уравнения определена и положительна при любом значении . На интервале правая часть отрицательна и корней быть не может. На интервале обе части уравнения неотрицательны, и возведение обеих в квадрат приводит к равносильному уравнению, которое Вы успешно решили. В указанном интервале лежит только один корень .

Ой, извините, так я путаюсь.

В принципе, в подобных уравнениях я абсолютно ничего сложного не вижу, просто хотел все неровности в своей голове выровнять.Спасибо ещё раз за ответы.

Можно ли мне скинуть сюда ещё одно уравнение (решенное мной), и вы, если не сложно, скажете - всё ли учтено, всё ли идеально?

[Fanday]

Я, прорешив уже около десяти неравенств, убедился, что ОДЗ вообще не нужно, потому что так или иначе приходится перепроверять.
Вот, например:

$\sqrt{-x+3} = 1 - x$

$-x + 3 = 1 - 2x + x^2$

$-x^2 + x +2 = 0$

$\mathbb D = 1 + 8 = 9$

$x _{1} = 2$

$x _{2} = - 1$

ОДЗ:

$-x + 3 \geqslant 0$

$x \leqslant 3$

Толку от ОДЗ нет, всё-равно перепроверяю:

при $x = 2$; не сходится

при $x = - 1$; сходится

Ответ: $-1$

Так для чего тогда вообще ОДЗ существует?

[Joker_vD]

Э, а разве тут такое ОДЗ?

$$\left\{\begin{array}{l}-x+3\geqslant0,\\1-x\geqslant0,\end{array}\right.$$

т.е. $x\leqslant1$. Тогда $x=2$ мигом отбраковывается.

[Fanday]

Цитата:

а разве тут такое ОДЗ?

Вот оно, значит обе части рассматриваем. Спасибо большое за ответ.

Тем не менее, иногда бывает, что корней нет вообще, и всё равно я вынужден буду перепроверить. Поэтому вопрос о надобности-ненадобности ОДЗ остается открытым.

Ещё раз спасибо :)

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #547504 писал(а):

Э, а разве тут такое ОДЗ?

$$\left\{\begin{array}{l}-x+3\geqslant0,\\1-x\geqslant0,\end{array}\right.$$

т.е. $x\leqslant1$.

ОДЗ --- это область допустимых значений, т.е. множество таких $x$, при которых обе части уравнения (неравенства) имеют смысл. В данном случае это $x \leqslant 3$. ТС здесь был прав.

-- Пн мар 12, 2012 01:41:07 --

Fanday в сообщении #547505 писал(а):

Вот оно, значит обе части рассматриваем.

Верно, но только на предмет их существования.

[Joker_vD]

nnosipov
Тогда извиняюсь. Но я точно помню, как меня учили учитывать неотрицательность корня.

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #547522 писал(а):

Но я точно помню, как меня учили учитывать неотрицательность корня.

Просто Вы уже фактически начали решать задачу, сделали первый содержательный шаг. А ОДЗ это всего лишь некая формальность, преамбула к решению.

[Fanday]

Цитата:

А ОДЗ это всего лишь некая формальность, преамбула к решению.

Но я делаю вывод, что от нахождения ОДЗ никакого толку нет. Может быть так, что нет корней вообще, поэтому проверку совершаем обязательно. Не прав что ли я?

Цитата:

ОДЗ --- это область допустимых значений, т.е. множество таких , при которых обе части уравнения (неравенства) имеют смысл.

Цитата:

Верно, но только на предмет их существования.

Не понимаю. Рассматривать (если уж рассматривать) только корень или обе части?

[nnosipov]

Fanday в сообщении #547524 писал(а):

Но я делаю вывод, что от нахождения ОДЗ никакого толку нет.

Не торопитесь с выводами. По-разному бывает.

Fanday в сообщении #547524 писал(а):

Не понимаю. Рассматривать (если уж рассматривать) только корень или обе части?

Если Вы всё же хотите найти ОДЗ, то Вам нужно найти ОДЗ левой части, затем ОДЗ правой части, а после этого взять их пересечение. Так Вы найдёте ОДЗ всего уравнения (неравенства). В любом случае нужно рассматривать обе части, выясняя, когда они существуют.

[Fanday]

Спасибо за ответ :)

Цитата:

Если Вы всё же хотите найти ОДЗ, то Вам нужно найти ОДЗ левой части, затем ОДЗ правой части, а после этого взять их пересечение. Так Вы найдёте ОДЗ всего уравнения (неравенства). В любом случае нужно рассматривать обе части, выясняя, когда они существуют.

Всё, это понял.

Цитата:

Не торопитесь с выводами. По-разному бывает.

А я только-только хотел отказаться от ОДЗ
Когда бывает, что срочно нужно ОДЗ и без него никак? Никогда?

[nnosipov]

Fanday в сообщении #547529 писал(а):

Когда бывает, что срочно нужно ОДЗ и без него никак?

Решите уравнение: $\sqrt{x-1}=1-x-x^2$.

[Fanday]

Цитата:

Решите уравнение

Вы меня прямо в тупик загнали.
Возведя обе части в квадрат, я хочу решить, но схема Горнера что-то не дает результата. У меня вышло $-x^4-2x^3+x^2+3x-2=0$ И вообще, эту тему мне ещё повторить-подтянуть нужно.
Но, в целом, разницы не вижу.
Найду я Горнером несколько корней (если найду), потом, подставив, их проверю. что подойдет - то и ответ. Если не найду корни - нет решений.

[Shadow]

Я собирался критиковать г-на nnosipov, что можно было немножко пыли в глазах бросить $\sqrt{x-1}+x^2+x=1$, но оказывается, нет необходимости. Интересно какой процент школьников решат задачу.

[Joker_vD]

Fanday в сообщении #547534 писал(а):

Если не найду корни - нет решений.

...или же вы плохо искали. А пример действительно хороший. Так что там с ОДЗ?

[Fanday]

Цитата:

Интересно какой процент школьников решат задачу.

Цитата:

А пример действительно хороший.

То есть я неверно сужу?
1) Возвожу обе части в квадрат.
2) Получаю уравнение с четвертой степенью... равно нулю.
3) Решаю делением или Горнером.
4) Проверяю подстановкой.

Цитата:

Так что там с ОДЗ?

Хочу доказать, что без ОДЗ всё возможно :)
Или же нет?