2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение10.03.2012, 19:46 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Только, пожалуйста, не подсказывайте, лишь наведите на мысль.

Надо доказать, что $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2}{2^n}}=6$

Заранее благодарна!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение10.03.2012, 19:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
Тут надо дифференцировать два раза. Ну и потом всякие мелочи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение10.03.2012, 20:04 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #547027 писал(а):
Тут надо дифференцировать два раза. Ну и потом всякие мелочи.

Значит, не настолько просто, насколько я предполагала.
Я была уверена, что очевидное решение в одно действие в упор не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение10.03.2012, 20:09 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
Ktina в сообщении #547034 писал(а):
Я была уверена, что очевидное решение в одно действие в упор не вижу.
Можно ли как-нибудь без этого банального дифференцирования? Не знаю, но кажется маловероятным. Посмотрим, что другие присоветуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение10.03.2012, 20:19 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
nnosipov в сообщении #547036 писал(а):
Можно ли как-нибудь без этого банального дифференцирования? Не знаю, но кажется маловероятным. Посмотрим, что другие присоветуют.
Можно суммированием по частям (оно же преобразование Абеля). См. Конкретная математика Грэхем Кнут Паташник.

Можно ручками: рассмотреть несколько сдвигов переменной суммирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение10.03.2012, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
$\frac 1 2 + \frac 4 4 + \frac 9 8 + \frac {16} {16} + \frac {25} {32} + ... =$
$=\frac {1} 2 + \frac {1+3} 4 + \frac {1+3+5} 8 + \frac {1+3+5+7} {16} + \frac {1+3+5+7+9} {32} + ... =$
$=\left(\frac {1} 2+\frac {1} 4+\frac {1} 8+...\right)+\left(\frac {3} 4+\frac {3} 8+\frac {3} {16}+...\right)+\left(\frac {5}{8}+\frac {5}{16}+\frac {5}{32}+...\right)+...=$
$=\frac 1 1 + \frac 3 2 + \frac 5 4 + \frac 7 8 +...=$
$=\frac 1 1 + \frac {1+2} 2 + \frac {1+2+2} 4 + \frac {1+2+2+2} 8 +...=$
$=\left(\frac {1} 1+\frac {1} 2+\frac {1} 4+...\right)+\left(\frac {2} 2+\frac {2} 4+\frac {2} {8}+...\right)+\left(\frac {2}{4}+\frac {2}{8}+\frac {2}{16}+...\right)+...=$
$=2+2+1+\frac 1 2+\frac 1 4+...=$
$=2+2+2=6$
Я не подсказывал, я только на мысль навёл. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение10.03.2012, 21:12 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
svv в сообщении #547056 писал(а):
$\frac 1 2 + \frac 4 4 + \frac 9 8 + \frac {16} {16} + \frac {25} {32} + ... =$
$=\frac {1} 2 + \frac {1+3} 4 + \frac {1+3+5} 8 + \frac {1+3+5+7} {16} + \frac {1+3+5+7+9} {32} + ... =$
$=\left(\frac {1} 2+\frac {1} 4+\frac {1} 8+...\right)+\left(\frac {3} 4+\frac {3} 8+\frac {3} {16}+...\right)+\left(\frac {5}{8}+\frac {5}{16}+\frac {5}{32}+...\right)+...=$
$=\frac 1 1 + \frac 3 2 + \frac 5 4 + \frac 7 8 +...=$
$=\frac 1 1 + \frac {1+2} 2 + \frac {1+2+2} 4 + \frac {1+2+2+2} 8 +...=$
$=\left(\frac {1} 1+\frac {1} 2+\frac {1} 4+...\right)+\left(\frac {2} 2+\frac {2} 4+\frac {2} {8}+...\right)+\left(\frac {2}{4}+\frac {2}{8}+\frac {2}{16}+...\right)+...=$
$=2+2+1+\frac 1 2+\frac 1 4+...=$
$=2+2+2=6$
Я не подсказывал, я только на мысль навёл. :oops:

Вот оно, то самое очевидное решение, которое я не видела в упор.
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение11.03.2012, 10:31 


26/08/11
2110
Я не догадался представить квадратов как сумма нечетных и вот что получилось:
1. $S_1=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{2^n}}$

$S_1=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots=$

$\frac{1}{2^1}+\frac{1+1}{2^2}+\frac{2+1}{2^3}+\cdots=$

$\left(\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots \right)+\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots \right)$

$S_1=1+\frac{1}{2}S_1, S_1=2$
Аналогично
2. $S=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2}{2^n}}$

$S=\frac{1^2}{2^1}+\frac{2^2}{2^2}+\frac{3^2}{2^3}+\cdots=$

$\frac{1^2}{2^1}+\frac{(1+1)^2}{2^2}+\frac{(2+1)^2}{2^3}+\cdots=$

$\frac{1^2}{2^1}+\frac{1^2+2.1+1}{2^2}+\frac{2^2+2.2+1}{2^3}+\cdots=$

$\left(\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots \right)+\left(\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots \right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1^2}{2^1}+\frac{2^2}{2^2}+\frac{3^2}{2^3}+\cdots\right)$

$S=1+2+\frac{1}{2}S, S=6$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение11.03.2012, 11:44 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
Shadow, это как раз то, что предложил
Sonic86 в сообщении #547042 писал(а):
Можно ручками: рассмотреть несколько сдвигов переменной суммирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение11.03.2012, 14:40 


26/08/11
2110

(Оффтоп)

Да, я когда первый раз прочитал не совсем понял что имелось ввиду, подумал опять какая-то глубокая теория. Потом увидел, что как раз то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение11.03.2012, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
deleted

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение11.03.2012, 19:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Shadow в сообщении #547173 писал(а):
1. $S_1=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{2^n}}$

Ну это, вообще-то, просто $(\frac1{2}+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\ldots)^2+(\frac1{2}+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\ldots).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение11.03.2012, 19:39 
Заслуженный участник


20/12/10
9116

(Оффтоп)

Всегда считал интегрирование более сложной процедурой, чем дифференцирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)
Сообщение11.03.2012, 21:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #547452 писал(а):
Всегда считал интегрирование более сложной процедурой, чем дифференцирование.

Но тут же просто бросается в глаза, что при возведении геометрической прогрессии в квадрат получается нечто похожее. И остаётся только чуток подправить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group