Сумма ряда (прошу прощения за очередной тупой вопрос)

[Ktina]

Только, пожалуйста, не подсказывайте, лишь наведите на мысль.

Надо доказать, что $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2}{2^n}}=6$

Заранее благодарна!

[nnosipov]

Тут надо дифференцировать два раза. Ну и потом всякие мелочи.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #547027 писал(а):

Тут надо дифференцировать два раза. Ну и потом всякие мелочи.

Значит, не настолько просто, насколько я предполагала.
Я была уверена, что очевидное решение в одно действие в упор не вижу.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #547034 писал(а):

Я была уверена, что очевидное решение в одно действие в упор не вижу.

Можно ли как-нибудь без этого банального дифференцирования? Не знаю, но кажется маловероятным. Посмотрим, что другие присоветуют.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #547036 писал(а):

Можно ли как-нибудь без этого банального дифференцирования? Не знаю, но кажется маловероятным. Посмотрим, что другие присоветуют.

Можно суммированием по частям (оно же преобразование Абеля). См. Конкретная математика Грэхем Кнут Паташник.

Можно ручками: рассмотреть несколько сдвигов переменной суммирования.

[svv]

$\frac 1 2 + \frac 4 4 + \frac 9 8 + \frac {16} {16} + \frac {25} {32} + ... =$
$=\frac {1} 2 + \frac {1+3} 4 + \frac {1+3+5} 8 + \frac {1+3+5+7} {16} + \frac {1+3+5+7+9} {32} + ... =$
$=\left(\frac {1} 2+\frac {1} 4+\frac {1} 8+...\right)+\left(\frac {3} 4+\frac {3} 8+\frac {3} {16}+...\right)+\left(\frac {5}{8}+\frac {5}{16}+\frac {5}{32}+...\right)+...=$
$=\frac 1 1 + \frac 3 2 + \frac 5 4 + \frac 7 8 +...=$
$=\frac 1 1 + \frac {1+2} 2 + \frac {1+2+2} 4 + \frac {1+2+2+2} 8 +...=$
$=\left(\frac {1} 1+\frac {1} 2+\frac {1} 4+...\right)+\left(\frac {2} 2+\frac {2} 4+\frac {2} {8}+...\right)+\left(\frac {2}{4}+\frac {2}{8}+\frac {2}{16}+...\right)+...=$
$=2+2+1+\frac 1 2+\frac 1 4+...=$
$=2+2+2=6$
Я не подсказывал, я только на мысль навёл.

[Ktina]

svv в сообщении #547056 писал(а):

$\frac 1 2 + \frac 4 4 + \frac 9 8 + \frac {16} {16} + \frac {25} {32} + ... =$
$=\frac {1} 2 + \frac {1+3} 4 + \frac {1+3+5} 8 + \frac {1+3+5+7} {16} + \frac {1+3+5+7+9} {32} + ... =$
$=\left(\frac {1} 2+\frac {1} 4+\frac {1} 8+...\right)+\left(\frac {3} 4+\frac {3} 8+\frac {3} {16}+...\right)+\left(\frac {5}{8}+\frac {5}{16}+\frac {5}{32}+...\right)+...=$
$=\frac 1 1 + \frac 3 2 + \frac 5 4 + \frac 7 8 +...=$
$=\frac 1 1 + \frac {1+2} 2 + \frac {1+2+2} 4 + \frac {1+2+2+2} 8 +...=$
$=\left(\frac {1} 1+\frac {1} 2+\frac {1} 4+...\right)+\left(\frac {2} 2+\frac {2} 4+\frac {2} {8}+...\right)+\left(\frac {2}{4}+\frac {2}{8}+\frac {2}{16}+...\right)+...=$
$=2+2+1+\frac 1 2+\frac 1 4+...=$
$=2+2+2=6$
Я не подсказывал, я только на мысль навёл.

Вот оно, то самое очевидное решение, которое я не видела в упор.
Спасибо!

[Shadow]

Я не догадался представить квадратов как сумма нечетных и вот что получилось:
1. $S_1=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{2^n}}$

$S_1=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots=$

$\frac{1}{2^1}+\frac{1+1}{2^2}+\frac{2+1}{2^3}+\cdots=$

$\left(\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots \right)+\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots \right)$

$S_1=1+\frac{1}{2}S_1, S_1=2$
Аналогично
2. $S=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2}{2^n}}$

$S=\frac{1^2}{2^1}+\frac{2^2}{2^2}+\frac{3^2}{2^3}+\cdots=$

$\frac{1^2}{2^1}+\frac{(1+1)^2}{2^2}+\frac{(2+1)^2}{2^3}+\cdots=$

$\frac{1^2}{2^1}+\frac{1^2+2.1+1}{2^2}+\frac{2^2+2.2+1}{2^3}+\cdots=$

$\left(\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots \right)+\left(\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots \right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1^2}{2^1}+\frac{2^2}{2^2}+\frac{3^2}{2^3}+\cdots\right)$

$S=1+2+\frac{1}{2}S, S=6$

[nnosipov]

Shadow, это как раз то, что предложил

Sonic86 в сообщении #547042 писал(а):

Можно ручками: рассмотреть несколько сдвигов переменной суммирования.

[Shadow]

(Оффтоп)

Да, я когда первый раз прочитал не совсем понял что имелось ввиду, подумал опять какая-то глубокая теория. Потом увидел, что как раз то.

[RIP]

deleted

[ewert]

Shadow в сообщении #547173 писал(а):

1. $S_1=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{2^n}}$

Ну это, вообще-то, просто $(\frac1{2}+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\ldots)^2+(\frac1{2}+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\ldots).$

[nnosipov]

(Оффтоп)

Всегда считал интегрирование более сложной процедурой, чем дифференцирование.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #547452 писал(а):

Всегда считал интегрирование более сложной процедурой, чем дифференцирование.

Но тут же просто бросается в глаза, что при возведении геометрической прогрессии в квадрат получается нечто похожее. И остаётся только чуток подправить.