[MATHCAD] - Спектр прямоугольника

[Unmanner]

Всем привет!

Друзья, подскажите почему у меня получается неправильные спектр прямоугольника?



Сам я использую маткад 3-й день, хотелось бы разобраться, думаю тут нет ничего сложного.

[profrotter]

Почему Вы решили, что это неправильный спектр? ДПФ дискретного прямоугольного импульса именно так и выглядит на одном периоде. Правда в нуле должна получиться сумма всех отсчётов сигнала. И, конечно, на втором графике нужно настроить отображение последовательности чисел. Возможно следует сначала найти это ДПФ, а потом сравнивать с тем, что получили в маткаде.

[Unmanner]

Спасибо большое за ответ!

Преподаватель сказал что спектр прямоугольника это - Sinc. А у меня получилось что-то иное, может он меня запутать хотел?

[profrotter]

Преподаватель имел в виду, что спекральная плотность прямоугольного импульса длительностью $\tau$ описывается выражением $\tau sinc\left(\frac {\omega\tau}{2}\right)$. Он Вас не обманул. Дело в том, что Вы в маткаде считаете дискретный спектр дискретного прямоугольного импульса - его ДПФ с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье - БПФ (по нашему) или FFT (по не нашему). Для того, чтобы получить то, что Вы называете "Sinc" задайте в маткаде прямоугольный импульс и собственно преобразование Фурье. Похожий пример совсем близко, вот тут: http://strts-online.narod.ru/files/mukrrtc2011.pdf на стр.41-42.

[Unmanner]

Спасибо!

Получилось построить Sinc.

Получается что ДПФ прямоугольного импульса есть последовательность треугольников?

[profrotter]

Unmanner в сообщении #547513 писал(а):

Получается что ДПФ прямоугольного импульса есть последовательность треугольников?

Не получается. ДПФ - это прежде всего последовательность чисел и она никак не может быть треугольником:

$$S_k=\sum\limits_{n=0}^{N-1}s_ne^{-j\frac {2\pi}{N}nk}.$$

(В маткаде FFT считает $S_k=\frac 1 N\sum\limits_{n=0}^{N-1}s_ne^{-j\frac {2\pi}{N}nk}$). Теперь берёте и считате для дискретного прямоугольного импульса (он состоит из $N$ штук единичек):

$$S_k=\sum\limits_{n=0}^{N-1}s_ne^{-j\frac {2\pi}{N}nk}=\sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{-j\frac {2\pi}{N}nk}=...$$

(Чтобы получить результат надо вспомнить форумулу для $N$ первых членов геометрической прогрессии).

В сообщении #428712 есть картинка с ДПФ прямоугольного импульса.

А для того, чтобы в маткаде увидеть последовательность чисел, а не "треугольников", выполняете щелчок другой кнопкой манипулятора "мышь" на графике, в появившемся всплывающем меню выбираете "Format", в открывшемся диалоговом окне выбираете вкладку "Traces" и устанавливаете свойство "Type" в значение "stem".

[Unmanner]

Большое спасибо за помощь!!!

[Pavia]

Unmanner
Спектр правильный. Только вот два нюанса.
1 Первое это дискретное преобразование, а не прерывное.
2. И второе так как значения на графике очень большие и очень маленькие надо строить график логарифмический (дБ). Задать это можно в свойствах графика.

[Unmanner]

Тем не менее от меня требуют построить Sinc прямо сейчас)

Агрументируя это тем, что это можно сделать ответив на вопрос:
Как изменится спектр Фурье дискредитированного сигнала при изменении частоты дискретизации последнего.

Строил в логарифмическом масштабе и/или столбиками, результат не sinc :(

[Unmanner]

Вопрос снимается -- добавили в конец нулевые отсчёты, стал Sinc

[profrotter]

Unmanner в сообщении #548231 писал(а):

Как изменится спектр Фурье дискредитированного сигнала при изменении частоты дискретизации последнего.

Ответ на вопрос в сообщении #543765. При изменении частоты дискретизации изменится период спектра дискретного сигнала. Если эффект наложения имеет место, то он будет менее или более проявляться в зависимости от того увеличиваем или уменьшаем мы частоту дискретизации. Однако это никак не повлияет на результат ДПФ в случае дискретного прямоугольного импульса, что Вы могли и сами обнаружить, если бы посмотрели простое упражнение, которое я Вам приводил выше.

Unmanner в сообщении #548380 писал(а):

Вопрос снимается -- добавили в конец нулевые отсчёты, стал Sinc

Заметьте, что добавив нулевые отсчёты вы не изменили частоту дискретизации сигнала, но изменили шаг дискретизации спектра. Справедливости ради следует отметить, что и в этом случае никакого Sinc Вы не получили, ибо прямоугольный импульс является сигналом с неограниченным спектром и при его дискретизации неизбежен эффект наложения в частотной области. А получили Вы последовательность чисел, модуль которых

$$|S_k|=\left|\frac {\sin(\frac {L\pi k} {N})} {\sin(\frac {\pi k} {N})}\right|,$$

где $L$ - количество единиц, $N$ - объём ДПФ (длина массива единиц с дополнением нулями).