Использование теоремы Руше

The_Great_Satan · 27/10/09 13

Доброго времени суток!

Нужно доказать, что следующая функция комплексного переменного $az^{r+1} - (1 + a) z^r + 1$ , где $a=r\rho$ , $0 < \rho < 1$ - вещественное, $r$ - натуральное, имеет ровно один корень на окружности $|z|=1$ , ровно один корень в области $|z|>1$ и, соответственно, $r-1$ корень в области $|z|<1$ .

Кажется, что надо воспользоваться теоремой Руше, но группировка слагаемых мне ничего не дала (не выполняется строгое неравенство на самом контуре $|z|=1$ , необходимое для применения теоремы). Вероятно надо что-то прибавить и вычесть, но не могу сообразить что именно.

ewert · 11/05/08 32166

The_Great_Satan в сообщении #547230 писал(а):

функция комплексного переменного $az^{r+1} - (1 + a) z^r + 1$ , где $a$ - некоторая неотрицательная вещественная константа, имеет ровно один корень на окружности $|z|=1$ ,

Это неверно. Во-первых, это откровенно неверно при $a=0$ . Во-вторых, при $a=r$ корень $z=1$ двукратный.

The_Great_Satan · 27/10/09 13

Прошу прощения, забыл написать $a=r\rho$ , где $0 < \rho < 1$ - вещественное, $r$ - натуральное.

ewert · 11/05/08 32166

На окружности есть хотя бы один корень: $z=1$ , притом простой (т.к. $a\neq r$ ). Других корней на окружности быть не может хотя бы потому, что вещественная часть выражения $az-1-a+z^{-r}=a(z-1)+(z^{-r}-1)$ строго отрицательна при $a>0$ , $|z|=1$ и $z\neq1$ . Осталось убедиться в том, что внутри окружности радиуса $1+\varepsilon$ при сколь угодно малом $\varepsilon$ ровно $r$ корней. Ну так из $a<r$ как раз и следует, что при всех достаточно малых $\varepsilon$ условие теоремы Руше выполняется.

The_Great_Satan · 27/10/09 13

Спасибо, ewert, теперь понятно как показать, что на самой окружности ровно 1 корень.

Теперь я беру $f(z)=-(1+a)z^r$ и $g(z)=az^{r+1}+1$ в условиях теоремы. Тогда $|f(z)|=(1+a)(1+\varepsilon)^r$ , а $|g(z)| \leq a(1+\varepsilon)^{r+1}+1$ . Я подобрал не те функции или же упускаю возможность сделать вывод о том, что на $|z| = 1 + \varepsilon$ выполняется строгое неравенство $|f(z)|>|g(z)|$ ?