Использование теоремы Руше

[The_Great_Satan]

Доброго времени суток!

Нужно доказать, что следующая функция комплексного переменного $az^{r+1} - (1 + a) z^r + 1$, где $a=r\rho$, $0 < \rho < 1$ - вещественное, $r$ - натуральное, имеет ровно один корень на окружности $|z|=1$, ровно один корень в области $|z|>1$ и, соответственно, $r-1$ корень в области $|z|<1$.

Кажется, что надо воспользоваться теоремой Руше, но группировка слагаемых мне ничего не дала (не выполняется строгое неравенство на самом контуре $|z|=1$, необходимое для применения теоремы). Вероятно надо что-то прибавить и вычесть, но не могу сообразить что именно.

[ewert]

The_Great_Satan в сообщении #547230 писал(а):

функция комплексного переменного $az^{r+1} - (1 + a) z^r + 1$, где $a$ - некоторая неотрицательная вещественная константа, имеет ровно один корень на окружности $|z|=1$,

Это неверно. Во-первых, это откровенно неверно при $a=0$. Во-вторых, при $a=r$ корень $z=1$ двукратный.

[The_Great_Satan]

Прошу прощения, забыл написать $a=r\rho$, где $0 < \rho < 1$ - вещественное, $r$ - натуральное.

[ewert]

На окружности есть хотя бы один корень: $z=1$, притом простой (т.к. $a\neq r$). Других корней на окружности быть не может хотя бы потому, что вещественная часть выражения $az-1-a+z^{-r}=a(z-1)+(z^{-r}-1)$ строго отрицательна при $a>0$, $|z|=1$ и $z\neq1$. Осталось убедиться в том, что внутри окружности радиуса $1+\varepsilon$ при сколь угодно малом $\varepsilon$ ровно $r$ корней. Ну так из $a<r$ как раз и следует, что при всех достаточно малых $\varepsilon$ условие теоремы Руше выполняется.

[The_Great_Satan]

Спасибо, ewert, теперь понятно как показать, что на самой окружности ровно 1 корень.

Теперь я беру $f(z)=-(1+a)z^r$ и $g(z)=az^{r+1}+1$ в условиях теоремы. Тогда $|f(z)|=(1+a)(1+\varepsilon)^r$, а $|g(z)| \leq a(1+\varepsilon)^{r+1}+1$. Я подобрал не те функции или же упускаю возможность сделать вывод о том, что на $|z| = 1 + \varepsilon$ выполняется строгое неравенство $|f(z)|>|g(z)|$?

[ewert]

The_Great_Satan в сообщении #547356 писал(а):

Я подобрал не те функции

Функции-то те, но не те обозначения: надо доказывать, что вторая больше первой.

[The_Great_Satan]

Но у второй функции $az^{r+1} + 1$ есть $r+1$ корень, и их расположение, казалось бы, никак не связано с нашей окружностью. Прошу еще подсказу

[ewert]

Пардон, я зазевался. Действительно, функции выбраны не те. Пробуйте другой вариант.

[ewert]

На всякий случай (если мой намёк был слишком смутен): естественно, надо брать $f(z)=-(1+a)z^r+1$ и $g(z)=az^{r+1}$.

[The_Great_Satan]

Большое спасибо, ewert, теперь все понятно.