2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ковыряюсь над пределом
Сообщение07.02.2012, 07:56 


22/12/08
155
Москва
День добрый всем!

Встал в ступор с решением предела
$\lim_{n \to \infty }(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})^n$.

Мыслей пока только две: 1) разложить в бином Ньютона, чтобы выделить основные части и все прочие слагаемые , но пугает роспись энной степени; 2) умножить и поделить на сопряженное $(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\sqrt[n]{5})^n$, но кроме квадратов ничего не увидел(((.

Буду рад любому мнению и совету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение07.02.2012, 07:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
$(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})^n=e^{n\ln (\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение07.02.2012, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
$$\sqrt[n]{a}=e^{\frac{\ln a}{n} }$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение07.02.2012, 08:04 


22/12/08
155
Москва
То есть получается $e^{nln(1+1-1)}=e^{n \cdot 0}=1$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение07.02.2012, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
$e^{n\ln (1+1-1)}$
Так нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение07.02.2012, 08:09 


22/12/08
155
Москва
Потом расписываю на произведение экспонент, и применяю формулу , которую написал alcoholist. Получается 6/5.

Спасибо всем огромное!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение10.03.2012, 15:35 


22/12/08
155
Москва
Если применить все предложенные формулы, то получится следующее решение

$(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})^n=e^{nln(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})}=e^{nln(e^{ln2/n}+e^{ln3/n}-e^{ln5/n})}$,

а чтобы получился ответ $\frac{6}{5}$, надо, чтобы в последней экспоненте было

$ e^{nln(e^{ln2/n+ln3/n-ln5/n})}$

А вот как перейти от верхней строчки к нижней, я что-то недогнал... Так как ответ я получил в пакете, то подсознательно его получил из верхней формулы. но аккуратно расписав логарифм, понял, что чего-то мне в решении не хватает...(.

Какой переход я упустил из решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение10.03.2012, 15:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Просто замените в самом втором выражении $\frac1n\equiv x$ и пролопитальте показатель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение10.03.2012, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
NeBotan в сообщении #535929 писал(а):
Получается 6/5

Это правильный ответ. Можно и без Лопиталя: $\ln x \sim x-1$ при $x\to 1$, потом $A+B-C-1=(A-1)+(B-1)-(C-1)$ и завершающий аккорд $a^x-1\sim \ln a$ при $x\to 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение10.03.2012, 17:10 


22/12/08
155
Москва
bot в сообщении #546930 писал(а):
Это правильный ответ. Можно и без Лопиталя: $\ln x \sim x-1$ при $x\to 1$, потом $A+B-C-1=(A-1)+(B-1)-(C-1)$ и завершающий аккорд $a^x-1\sim \ln a$ при $x\to 0$


Применив все предложенное получил $e^{n(ln2+ln3-ln5)}$

а в завершающем аккорде не должно быть $a^x-1\sim \frac{\ln a }{x}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение10.03.2012, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Да, грешен - пропустил $x$, но в числителе $a^x-1 \sim x\ln a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение10.03.2012, 21:58 


22/12/08
155
Москва
Ну зато теперь хоть все получилось) спасибо большое, что помогли разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение10.03.2012, 22:33 


03/03/12
1380
А мне не понятно, как ответ может быть (1,2), когда все члены последовательности, начиная со второго меньше единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение11.03.2012, 08:33 


14/01/11
3067
TR63 в сообщении #547091 писал(а):
А мне не понятно, как ответ может быть (1,2), когда все члены последовательности, начиная со второго меньше единицы.

И заканчивая третьим. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковыряюсь над пределом
Сообщение11.03.2012, 10:10 


03/03/12
1380
Поняла. Все члены последовательности, начиная с третьего, больше единицы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group