Ковыряюсь над пределом

[NeBotan]

День добрый всем!

Встал в ступор с решением предела
$\lim_{n \to \infty }(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})^n$.

Мыслей пока только две: 1) разложить в бином Ньютона, чтобы выделить основные части и все прочие слагаемые , но пугает роспись энной степени; 2) умножить и поделить на сопряженное $(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\sqrt[n]{5})^n$, но кроме квадратов ничего не увидел(((.

Буду рад любому мнению и совету.

[xmaister]

$(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})^n=e^{n\ln (\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})}$.

[alcoholist]

$$\sqrt[n]{a}=e^{\frac{\ln a}{n} }$$

[NeBotan]

То есть получается $e^{nln(1+1-1)}=e^{n \cdot 0}=1$ ?

[xmaister]

$e^{n\ln (1+1-1)}$
Так нельзя.

[NeBotan]

Потом расписываю на произведение экспонент, и применяю формулу , которую написал alcoholist. Получается 6/5.

Спасибо всем огромное!

[NeBotan]

Если применить все предложенные формулы, то получится следующее решение

$(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})^n=e^{nln(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})}=e^{nln(e^{ln2/n}+e^{ln3/n}-e^{ln5/n})}$,

а чтобы получился ответ $\frac{6}{5}$, надо, чтобы в последней экспоненте было

$ e^{nln(e^{ln2/n+ln3/n-ln5/n})}$

А вот как перейти от верхней строчки к нижней, я что-то недогнал... Так как ответ я получил в пакете, то подсознательно его получил из верхней формулы. но аккуратно расписав логарифм, понял, что чего-то мне в решении не хватает...(.

Какой переход я упустил из решения?

[ewert]

Просто замените в самом втором выражении $\frac1n\equiv x$ и пролопитальте показатель.

[bot]

NeBotan в сообщении #535929 писал(а):

Получается 6/5

Это правильный ответ. Можно и без Лопиталя: $\ln x \sim x-1$ при $x\to 1$, потом $A+B-C-1=(A-1)+(B-1)-(C-1)$ и завершающий аккорд $a^x-1\sim \ln a$ при $x\to 0$

[NeBotan]

bot в сообщении #546930 писал(а):

Это правильный ответ. Можно и без Лопиталя: $\ln x \sim x-1$ при $x\to 1$, потом $A+B-C-1=(A-1)+(B-1)-(C-1)$ и завершающий аккорд $a^x-1\sim \ln a$ при $x\to 0$

Применив все предложенное получил $e^{n(ln2+ln3-ln5)}$

а в завершающем аккорде не должно быть $a^x-1\sim \frac{\ln a }{x}$ ?

[bot]

Да, грешен - пропустил $x$, но в числителе $a^x-1 \sim x\ln a$

[NeBotan]

Ну зато теперь хоть все получилось) спасибо большое, что помогли разобраться.

[TR63]

А мне не понятно, как ответ может быть (1,2), когда все члены последовательности, начиная со второго меньше единицы.

[Sender]

TR63 в сообщении #547091 писал(а):

А мне не понятно, как ответ может быть (1,2), когда все члены последовательности, начиная со второго меньше единицы.

И заканчивая третьим.

[TR63]

Поняла. Все члены последовательности, начиная с третьего, больше единицы.